Слишком сложно? Тогда запросите консультацию специалиста!
Наша компания занимается тем, что помогает студентам выполнять различные учебные работы на заказ. Вы можете ознакомиться с перечнем выполняемых работ, а так же с их стоимостью на странице с ценами.
Понятие максимума, минимума, экстремума функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной переменной.
Пусть функция 
определена в некоторой области 
Определение. Точка 
называется точкой минимума функции если существует такая d-окрестность точки 
что для всех точек 
, отличных от 
из этой окрестности выполняется неравенство 
.
Определение. Точка называется точкой максимума функции если существует такая d-окрестность точки что для всех точек , отличных от из этой окрестности выполняется неравенство 
.
Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – экстремумами функции (минимумом и максимумом соответственно).
В силу определения точки экстремума функции лежат внутри области определения функции; максимум и минимум имеют локальный характер: значение функции в точке сравнивается с ее значением в точках, достаточно близких к этой точке. В области определения функции может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.
Теорема (необходимое условие экстремума). Если – точка экстремума дифференцируемой функции , то ее частные производные 
в этой точке равны нулю: 
.
Обратное утверждение справедливо далеко не всегда. Иными словами, если известно, что в некоторой точке частные производные равны нулю, то это еще не значит, что там есть экстремум. Его там может и не быть.
Точки, в которых частные производные первого порядка равны нулю, называются критическими или стационарными. В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь.
Теорема 2 (достаточное условие экстремума). Пусть функция :
а) определена в некоторой окрестности критической точки , в которой 
и 
;
б) имеет непрерывные частные производные второго порядка 
Тогда,
если 
, то функция в точке имеет экстремум:
максимум, если А<0;
минимум, если А>0;
если 
, то функция в точке экстремума не имеет. В случае 
вопрос о наличии экстремума остается открытым, необходимы дополнительные исследования.
Алгоритм исследования функции на экстремум.
1. Найти частные производные первого порядка 
и 
;
2. Решить систему уравнений 
и найти критические точки функции.
3. Найти частные производные второго порядка: 
4. Вычислить значения частных производных второго порядка в каждой критической точке и, используя достаточные условия, сделать вывод о наличии экстремума.
5. Найти экстремумы функции.
Пример. Найти экстремумы функции 
Решение.
1. Находим частные производные первого порядка:
2. Для определения критических точек решаем систему уравнений:
Из первого уравнения системы выразим одну из переменных: 
и подставим найденное значение y во второе уравнение, получим:
Таким образом, имеем две критические точки: 
и 
.
3. Вычисляем частные производные второго порядка:
4. Вычисляем значение частных производных второго порядка в каждой критической точке:
Для точки имеем:
| Для точки имеем:
|
Так как 
то в точке экстремума нет.
| Так как 
то в точке функция имеет минимум.
|
5. Находим значение функции в точке :
.
Конечно, для полного рассмотрения вопроса 'Экстремумы функций двух переменных. Необходимое и достаточное условие экстремума.', приведенной информации не достаточно, однако чтобы понять основы, её должно хватить. Если вы изучаете эту тему, с целью выполнения задания заданного преподавателем, вы можете обратится за консультацией в нашу компанию. В нашей команде работает большой состав специалистов, которые разбираются в изучаемом вами вопросе на экспертном уровне.
Хм, так же просматривали
