Слишком сложно? Тогда запросите консультацию специалиста!
Наша компания занимается тем, что помогает студентам выполнять различные учебные работы на заказ. Вы можете ознакомиться с перечнем выполняемых работ, а так же с их стоимостью на странице с ценами.
Теорема 1: при аффинном преобразовании пространства 
координаты 
произвольной точки 
и координаты 
ее образа 
в одной и той же аффинной системе координат связаны формулами вида
, 
, (1)
то есть
при условии 
(2)
□ Введем в пространстве аффинную систему координат 
и пусть 
при аффинном преобразовании 
отображается на точку 
. Обозначим также 
, где 
.
Векторное преобразование 
, ассоциированное с 
, является линейным, следовательно, выражается формулами вида:
При выполнении условия (2). По определению ассоциированного отображения, векторное отображение 
отображает вектор 
на вектор 
. Но 
, (
’-
), тогда, подставляя координаты этих векторов вместо 
и в формулы (3), получаем равенства:
то есть равенство (1). ■
Замечание 1: следует отличать формулы (1) аффинного преобразования пространства 
от внешне похожих на них формул преобразования координат точки (6) из теоремы (2) §2, где связаны координаты одной и той же точки в разных системах координат. Формулы же (1) связывают, вообще говоря, координаты двух различных точек (точки и её образа) в одной и той же системе координат.
Теорема 2 (обратная): всякое преобразование пространства , выражаемое в некоторой аффинной системе координат формулами вида (1) при условии (2), является аффинным преобразование этого пространства.
□ Пусть 
- векторное пространство, связанное с данным аффинным пространством . По определению аффинного преобразования достаточно показать, что для данного преобразования существует ассоциированное с ним изоморфное преобразование 
пространства 
.
Покажем, что таким преобразованием является преобразовании с формулами (3).
Пусть при 
и 
отображаются соответственно на точки 
и 
, тогда имеем: 
и 
. Но по формулам (1)
Оттуда получаем:
Таким образом, координаты векторов 
и 
связаны уравнениями (3). Следовательно, преобразование отображает вектор на вектор и поэтому ассоциировано с преобразованием . Так как преобразование выражается формулами (3) при условии (2), то оно является изоморфным. ■
Следствие: если аффинное преобразование выражается формулами (1) при условии (2), то ассоциированное с ним векторное преобразование выражается формулами (3).
Теорема 3: для любых двух реперов 
и 
существует единственное аффинное преобразование пространства такое, что оно отображает точку A на точку A’, ассоциированное с ним векторное преобразование отображает базис 
на базис 
.
□ 1) Рассмотрим аффинную систему координат . Из курса алгебры известно, что в векторном пространстве , связанным с , существует единственное преобразование , отображающее базис на базис . Пусть оно выражается формулами (3) при условии (2). Тогда аффинное преобразование с формулами (1), где 
, обладает всеми свойствами, перечисленными в теореме.
С другой стороны, непосредственно подставляя координаты точек 
в формулы (1), убеждаемся, что 
.
2) Обратно, любое аффинное преобразование 
со свойствами из формулировки теоремы совпадает с преобразованием с формулами (1). Действительно, пусть задано формулами:
Так как 
, то имеем: 
. А так как векторное преобразование, ассоциированное с , отображает базис 
на базис 
, то оно совпадает с преобразованием и 
. ■
Замечание 2: Назовем два координатных репера одноименными, если матрица перехода от одного из них к другому имеет положительныйопределитель, в противном случае (если определитель матрицы перехода отрицателен) назовём реперы разноименным. Таким образом, множество всех базисов распадается на два непересекающихся класса. Назовем их правые и левые. При аффинном преобразовании с положительным определителем все правые системы векторов переходят в правые системы, а левые – в левые. При аффинном преобразовании с отрицательными определителем все правые системы векторов переходят в левые системы, а левые – в правые.
Определение 1: аффинное преобразование пространства , матрица которого имеет положительный определитель, называется аффинным преобразованием I рода, а аффинное преобразование, матрица которого имеет отрицательный определитель, называется аффинным преобразованием II рода.
