Слишком сложно? Тогда запросите консультацию специалиста!
Наша компания занимается тем, что помогает студентам выполнять различные учебные работы на заказ. Вы можете ознакомиться с перечнем выполняемых работ, а так же с их стоимостью на странице с ценами.
Тройной интеграл.
1º. Мера Жордана в пространстве 
.
Рассмотрим разбиение пространства на кубы ранга
с помощью плоскостей 
, 
, 
, 
. Обозначим 
количество кубов ранга, содержащихся во множестве
и 
− количество кубов ранга, пересекающихся с множеством
. Пусть ещё 
.
Определение. ВнутреннеймеройЖордана множества 
называется величина 
. Внешней мерой Жордана множества называется величина 
. Множество называется измеримым по Жордану или кубируемым, если 
. Их общее значение 
называется просто мерой этого множества или его объёмом.
2º. Определение тройного интеграла.Пусть 
− кубируемое, ограниченное множество и 
− функция, определенная на этом множестве. Рассмотрим разбиение 
на неперекрывающиеся кубируемые подмножества 
и выберем точки 
. Обозначим 
− объём множества и 
диаметр этого множества. Назовем мелкостью разбиения 
величину 
. Образуем интегральную сумму Римана 
.
Определение.Если существует предел 
, то функция называется интегрируемой по Риману на множестве , в записи − 
, а сам предел называется тройным интегралом и обозначается 
или 
.
Точно так же, как в одномерном и двумерном случаях, формулируются и доказываются критерий интегрируемости, теорема о существования тройного интеграла от непрерывной функции и основные свойства интеграла. Отметим только, что средним интегральным в трёхмерном случае называют величину
.
Замечание.По той же схеме определяется мера Жордана и интеграл в пространстве 
при любом натуральном 
.
3º. Сведение кратных интегралов к повторным интегралам.
Пусть 
, 
; 
− сечение множества гиперплоскостью 
и пусть − проекция
на подпространство 
(т.е. на подпространство первых координат).
Теорема.Пусть существует интеграл 
и пусть при любом значении 
существует интеграл по сечению 
. В таком случае существует повторный интеграл 
. При этом 
.
Отметим частные случаи, когда 
: 1) 
и 2) .
Замена переменных в кратных интегралах.
1˚.Перед тем как сформулировать правило замены переменных в кратных интегралах, напомним это правило в одномерном случае.
Рассмотрим гладкое отображение (замену переменной) 
. Будем считать, что 
, причём 
не обращается в нуль на отрезке 
. Пусть еще 
, 
. Тогда 
.
Теорема.Пусть 
− область с кусочно-гладкой границей и , где 
, 
− взаимно однозначное отображение класса 
, причем якобиан этого отображения 
не обращается в нуль в области . Пусть ещё 
. Тогда
.
Эту формулу можно объяснить следующим образом. Из линейной алгебры известно, что 
, где 
− линейный оператор 
, показывает, во сколько раз изменяется объём любого параллелепипеда (и, значит, любого тела) под действием оператора . Отсюда нетрудно вывести, что модуль определителя Якоби отображения представляет собой коэффициент искажения объёма бесконечно малой окрестности точки под действием этого отображения.
2˚. Криволинейные координаты в области задаются с помощью гладкого взаимно однозначного отображения , для которого якобиан 
не обращается в нуль 
. Координатной линией 
называются образ линии , вдоль которой изменяется только координата .
В качестве примера криволинейных координат рассмотрим полярные координаты на плоскости. В этом случае 
− полярный радиус точки 
, отсчитываемый от полюса O, 
− полярный угол, отсчитываемый от полярной оси. Если 
, 
− координаты точки в правой прямоугольной декартовой системе координат, где ось 
совпадает с полярной осью, то 
. Линии 
− лучи, выходящие из точки 
, линии 
− окружности с центром в этой точке.
Вернёмся к общему случаю. По касательной к линии в заданной точке идёт вектор 
, который мы будем коротко записывать 
. Длина этого вектора называется 
коэффициентом Ламэ и обозначается 
. По предыдущему 
, т.е. − коэффициент искажения длины вдоль линии . В таком случае 
− единичный касательный вектор к линии . Набор векторов 
называется подвижным репером. Он, вообще говоря, зависит от точки, в которой вычислены все эти векторы. Если подвижный репер в каждой точке образует ортогональную систему векторов, то криволинейные координаты называются ортогональными.
Имеем 
. В ортогональном случае из этой формулы, в частности, следует, что
.
Таким образом, в случае перехода от прямоугольных декартовых координат к ортогональным криволинейным координатам коэффициент искажения объёма равен произведению коэффициентов искажения длины вдоль координатных направлений.
3˚. Важные примеры криволинейных координат.
1. Полярные координаты.Выше уже были описаны полярные координаты и их связь с прямоугольными декартовыми координатами. Коэффициенты Ламэ легко вычисляются, исходя из их геометрического смысла: 
, 
.
Подвижный репер состоит из взаимно ортогональных векторов 
. Следовательно, полярные координаты представляют собой ортогональную криволинейную систему координат. Поэтому 
, иначе говоря, 
.
2. Обобщенные полярные (эллиптические) координаты. По определению они вводятся формулами 
. Координатными линиями являются эллипсы и лучи
. Система − косоугольная. Здесь 
или 
.
3. Цилиндрические координаты в пространстве.Так называются величины  , где  совпадает с соответствующей декартовой координатой точки , а  − полярные координаты точки  , являющейся проекцией на плоскость  . Здесь  .
Линии − лучи, расходящиеся от оси − окружности с центром на си  . Линии − прямые, параллельные оси  .
Координатные поверхности: полуплоскости  , начинающиеся с оси , наконец, цилиндры (давшие название системе).
Коэффициенты Ламэ:  . Данная система является ортогональной.
 , т.е.  .
| 
|
4. Сферические координаты в пространстве.Так называются величины  , где  − расстояние точки от начала координат;  − широта и долгота точки;  . При этом  , или
 .
Линии − лучи, выходящие из начала координат; линии − параллели. Координатные поверхности – сферы  , конусы  и полуплоскости , начинающиеся с оси .
Коэффициенты Ламэ:  ,  ,  .
Так как сферическая система является ортогональной, то
 ,  .
|
|
Приложения кратных интегралов.
1˚. Геометрические приложения.
Конечно, для полного рассмотрения вопроса 'Замена переменных в кратных интегралах.', приведенной информации не достаточно, однако чтобы понять основы, её должно хватить. Если вы изучаете эту тему, с целью выполнения задания заданного преподавателем, вы можете обратится за консультацией в нашу компанию. В нашей команде работает большой состав специалистов, которые разбираются в изучаемом вами вопросе на экспертном уровне.
