Слишком сложно? Тогда запросите консультацию специалиста!
Наша компания занимается тем, что помогает студентам выполнять различные учебные работы на заказ. Вы можете ознакомиться с перечнем выполняемых работ, а так же с их стоимостью на странице с ценами.
Диск будем рассматривать как круглую пластину переменной толщины в рамках модели Тимошенко. Для пластины в цилиндрической системе координат:
, (15.1)
, (15.2)
, (15.3)
, (15.4)
, (15.5)
где D – цилиндрическая жесткость, k учитывает характер распределения напряжений.
- крутящий момент, который образуется от касательных напряжений на площадке с нормалью r. 
- погонная перерезывающая сила, которая возникает от касательных напряжений. Она действует в направлении оси Z на площадке с нормалью r. 
- скручивающий момент, который возникает от нормальных напряжений на площадке с нормалью 
. 
- крутящий момент от касательных напряжений на площадке с нормалью . 
- погонная перерезывающая сила от касательных напряжений 
, действующая в направлении оси Z на площадке с нормалью .
Выделим элемент диска двумя радиальными плоскостями, расположенными под углом 
, и двумя цилиндрическими поверхностями с радиусами r и dr (рис.15.1).
Рис.15.1. Бесконечно малый элемент диска и действующие на него динамические силы
Получим систему дифференциальных уравнений, описывающую колебания диска, из рассмотрения уравнений (15.1) – (15.5) и условий равновесия элемента диска.
Из (15.1) (также умножив и разделив на r) получим
. (15.6)
Из (15.3) получим
(15.7)
Из (3.2)
(15.8)
Преобразуем (15.4), подставив 
из (15.6):
(15.9)
Сила инерции
(15.10)
Рассмотрим равновесие элемента. Проекции сил на ось Z:
(15.11)
Преобразуем
(15.12)
С учетом (15.12), (15.11) примет вид
,
.
Поделив на 
, получим
. (15.13)
Продифференцируем (15.5) по :
.
Подставив это в (15.13), получим
(15.14)
Сумма моментов относительно оси r :
Пренебрегая бесконечно малыми второго порядка, полагая 
и 
, получаем
.
Разделив на и учтя = , а также умножив и разделив на r, получим:
.
Подставив и из (15.9) и (15.5), получим
(15.15)
Проекции моментов на окружное направление:
Раскроем скобки аналогично (15.12):
.
Разделив на , а также умножив и разделив на r, получим:
.
Подставив из (15.9), получим
. (15.16)
Уравнения (15.8), (15.6), (15.7), (15.14), (15.16), (15.15) образуют систему (15.17) относительно 6 переменных
, 
, 
, 
, 
, 
.
(15.17)
Решение системы (15.17) должно быть периодическим по .
.
Поэтому решение будем искать в виде:
(15.18)
Здесь p – собственная частота, t – время, 
- сдвиг фазы колебаний.
Подставив (15.18) в (15.17), взяв производные по и сократив на 
, получим систему дифференциальных уравнений первого порядка.
(15.19)
Общее решение системы имеет вид
,
где 
- любые линейно независимые частные решения (15.19).
Частные решения находим численным методом. На радиусе начала интегрирования примем
……………..
.
Постоянные 
определим из граничных условий.
Рассмотрим определение собственных частот колебаний диска переменного сечения, закрепленного на внутреннем радиусе 
и свободного на периферии 
.
Граничные условия на радиусе :
, 
, 
.
, отсюда 
.
Аналогично получаем 
.
Граничные условия на радиусе :
, 
, 
. Из этого получаем систему уравнений:
(15.20)
Система имеет решения, если ее определитель равен нулю.
Приведем алгоритм расчета собственных частот колебаний диска:
1. Задается m=0.
2. Принимается начальная частота колебаний 
.
3. Интегрируется три раза система (15.19) с начальными значениями
.
4. Вычисляется определитель системы (15.20) и сравнивается со значением на предыдущем шаге. Если его знак изменился, перейти к п.6. Если не изменился – к п.5.
5. Частота увеличивается на шаг 
. Перейти к п.3.
6. Меняется шаг 
. Перейти к п.5.
7. Дробление шага продолжается до тех пор, пока не выполнится 
(погрешности расчета).
8. Определяется собственная частота 
.
9. Принимается начальная частота 
. Перейти к п.3.
10. Если найдены все собственные частоты колебаний для заданного m (в пределах рассматриваемого диапазона частот), то m= m+1. Перейти к п. 1.
После расчета собственных частот рассчитываются собственные формы колебаний диска. В выражении первые два сомножителя определяют распределение амплитуды колебаний по диску.
При m=0 амплитуды во всех точках окружности одинаковы.
При m=1 имеются две линии, на которых амплитуда колебаний равна нулю. Эти линии образуют узловой диаметр (рис. 15.2).
Рис.15.2. Колебания диска с узловыми диаметрами и узловыми окружностями
При m=2 имеются четыре линии, на которых амплитуда колебаний равна нулю. Эти линии образуют два узловых диаметра. И т.д.
Функция 
также может менять знак по радиусу диска. При n=0 все значения в один и тот же момент времени имеют одинаковый знак. Амплитуды колебаний с ростом m в центре убывают. При большом значении m колеблется только обод диска.
При n=1 функция имеет одну перемену знака по радиусу диска. При этом появляется узловая окружность (см. рис. 15.2). При n=2 функция имеет две перемены знака по радиусу диска. При этом появляются две узловых окружности. И т.д.
Формы колебаний с m=0 и различным количеством узловых окружностей называют зонтичными.
С увеличением m и n частота колебаний растет, за единственным исключением:
.
Формы колебаний диска можно представить в виде таблицы (рис.15.3).
Рис. 15.3. Таблица форм колебаний центрально закрепленного диска
Удобно представить частоты колебаний в виде единого графика в зависимости от количества узловых диаметров m. Такой график называют спектром колебаний диска (рис. 15.4).
Рис. 15.4. Спектр колебаний диска
Поскольку лопатки увеличивают массу на ободе диска, собственные частоты колебаний диска с лопатками уменьшаются. Узловые диаметры могут проходить только между лопатками, поэтому их количество у диска с лопатками не бесконечно, а ограничено числом z/2, если количество лопаток z четное, и (z-1)/2, если количество лопаток нечетное.
Узловые окружности зонтичных форм колебаний диска с лопатками могут проходить по лопаткам (рис. 15.5).
Рис. 15.5. Форма колебаний диска с лопатками
Все незонтичные (m>1) формы колебаний являются парными. Кроме решения (15.18) существует решение
(15.21)
Его подстановка в систему (15.17) приводит к системе, аналогичной (15.19). Частоты колебаний при этом будут те же самые, но распределение смещений будет сдвинуто на 1/4 волны, то есть на угол 
. Парные формы колебаний не зависят друг от друга. Пусть
,
,
где 
, 
, , 
- соответственно, амплитуды и сдвиги фаз, которые зависят от начальных условий, - распределение смещений по радиусу диска ( 
. При колебаниях диска возбуждаются обе парные формы, результатом является их суперпозиция. Рассмотрим частные случаи.
1. 
. Результирующее движение
.
Здесь 
, 
.
Видно, что диск имеет m узловых диаметров. Их положение определяется из условия
при 
. Отсюда
,
.
Положение узловых линий в этом случае не зависит от времени. Это – колебания со стоячими волнами.
Положение узловых линий зависит от соотношения и , которое зависит от начальных условий и может быть любым – следовательно, положение узловых линий произвольное.
2. Пусть = =D, возбуждение колебаний приложено к точке 1 диска и перемещается по окружности (рис. 15.6). Для формы m=1 узловая линия имеет вид диаметра. Если для формы 
она проходит через точку 1, форма возбуждаться не будет (энергия передается посредством работы, а работа при нулевом перемещении равна нулю). Будет возбуждаться перпендикулярная узловая линия формы 
. Когда источник возбуждения колебаний перейдет в точку 3 (под углом 900), перестанет возбуждаться форма , но появится форма . При положении источника в промежуточной точке 2, возбуждается суперпозиция форм и , линия, противоположная точке 2.
Рис.15.6. Возбуждение парных форм колебаний
Таким образом, узловые линии стоячих волн перемещаются по диску при перемещении источника возбуждения колебаний.
3. Возможны также колебания диска с бегущими волнами. Пусть 
, 
, 
. Результирующее колебание
.
Узловые линии определяются выражением 
, откуда
, 
.
Видно, что положение узловых линий зависит от времени. Это – колебания с бегущей волной. Угловая скорость вращения узловых линий
,
так как она отрицательна, это – колебания с назад бегущей волной.
4. Если = =D, 
, 
, то
.
Узловые линии определяются выражением 
, откуда
, 
, 
.
Это – колебания с вперед бегущей волной.
В ГТД все резонансные колебания происходят с назад бегущей волной. Автоколебания – в 90% случаев с вперед бегущей волной.
Конечно, для полного рассмотрения вопроса 'КОЛЕБАНИЯ ДИСКА РАБОЧЕГО КОЛЕСА', приведенной информации не достаточно, однако чтобы понять основы, её должно хватить. Если вы изучаете эту тему, с целью выполнения задания заданного преподавателем, вы можете обратится за консультацией в нашу компанию. В нашей команде работает большой состав специалистов, которые разбираются в изучаемом вами вопросе на экспертном уровне.
