Теорема умножения вероятностей независимых


При самостоятельном желании понять тему " Теорема умножения вероятностей независимых " вам поможет наш ресурс. Для вас наши специалисты подготовили материал, изучив который вы будете разбираться в ней уровне профессионала. А если у вас останутся вопросы, то задать их вы сможете прямо на сайте написав в чат онлайн-консультанта.

оформить заявку

Слишком сложно? Тогда запросите консультацию специалиста!

Наша компания занимается тем, что помогает студентам выполнять различные учебные работы на заказ. Вы можете ознакомиться с перечнем выполняемых работ, а так же с их стоимостью на странице с ценами.

ознакомиться с условиями

Краткое пояснение: Теорема умножения вероятностей независимых

событий.

Вероятность совместного появления (или произведения) двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Р(А*В)=Р(А)*Р(В)

Задача. В одной урне находятся 4 белых и 8 чёрных шаров, а в другой – 3 белых и 9

чёрных. Из каждой урны вынули по шару. Найти вероятность того, что оба

шара окажутся белыми.

Решение:

Событие А – появление белого шара из первой урны.

Событие В – появление белого шара из второй урны.

События А и В независимы.

или

Ответ: .

Теорема умножения вероятностей зависимых событий.

Вероятность совместного появления (или произведения) двух зависимых событий равна произведению одного из них на условную вероятность второго при условии первого:

Р(А*В)=Р(А)*Р(В/А)=Р(В)* Р(А/В)

Задача. В ящике находится 12 деталей, из которых 8 стандартных. Рабочий берёт

наудачу одну за другой две детали. Найти вероятность того, что обе детали

окажутся стандартными.

Решение:

Событие А – первая взятая деталь стандартная;

Событие В – вторая взятая деталь стандартная.

Вероятность того, что вторая взятая деталь окажется стандартной при условии, что была стандартной первая деталь

тогда

Ответ: Р(А*В) 0,424.

Задачи математической статистики:

1.Указать способы сбора и группировки (если данных очень много) статических сведений.

2.Разработать методы анализа статических данных в зависимости от целей исследования.

Изучение тех или иных явлений методами математической статистики служит средством решения многих вопросов, выдвигаемых наукой и практикой (правильная организация технологического процесса, наиболее целесообразное планирование и др.)

Итак, основная задача математической статистики в создании методов сбора и обработки статических данных для получения научных и практических выводов.

Генеральная и выборочная совокупности.

Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты. Например, если имеется партия деталей, то качественным признаком может служить стандартность детали, а количественным – контролируемый размер детали.

Выборочной совокупностью, или просто выборкой, называют совокупность случайно отобранных объектов.

Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится выборка.

Выборкой с возвращением называют выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность.

Выборкой без возвращения называют выборку, при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.




Для того, чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно судить об интересующем нас признаке генеральной совокупности, необходимо, чтобы объекты выборки правильно его представляли. Это требование коротко формулируют так: выборка должна быть репрезентативной (представительной).

На практике применяют различные способы отбора. Принципиально эти способы можно подразделить на два вида:

1) Отбор, не требующий расчленения генеральной совокупности на части, к нему относятся:

а) простой случайный бесповторный отбор;

б) простой случайный повторный отбор.

2) Отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части, к нему относятся:

а) типический отбор;

б) механический отбор;

в) серийный отбор.

Вопросы для самопроверки:

1. Какие события называются совместными?

2. Какие события называются противоположными?

3. Дайте классическое определение вероятности.

4. Сформулировать теоремы сложения вероятностей: а) несовместных событий;

б) совместных событий.

5. Чему равна сумма вероятностей двух противоположных событий?

6. Что называется условной вероятностью события?

7. Сформулировать теоремы умножения вероятностей: а) независимых событий;

б) зависимых событий.

8. В чём заключается задача математической статистики?

9. Что называется выборкой?

10. Дайте определение генеральной совокупности и объёма совокупности.

11. Как различаются выборка с возращением и выборка без возвращения?

12. Охарактеризуйте возможные способы выбора.

 

Варианты контрольных заданий

Задание 1:Дана система линейных уравнений, доказать ее совместность и решить тремя способами:



1) Методом Гаусса;

2) По формулам Крамера;

3) Средствами матричного исчисления.

 

Вариант 1 . Вариант 2.

Вариант 3. Вариант 4.

Вариант 5. Вариант 6.

Вариант 7. Вариант 8.

Вариант 9. Вариант 10.

Вариант 11. Вариант 12.

Вариант 13. Вариант 14.

Вариант 15. Вариант 16.

Вариант 17. Вариант 18.

Вариант 19. Вариант 20.

Вариант 21. Вариант 22.

Вариант 23. Вариант 24.

Вариант 25. Вариант 26.

Вариант 27. Вариант 28.

Вариант 29. Вариант 30.

Задание 2: Вычислить пределы функций

 

Вариант 1:

а) б) в) г)

Вариант 2:

а) б) в) г)

Вариант 3:

а) б) в) г)

Вариант 4:

а) б) в) г)

Вариант 5:

а) б) в) г)

Вариант 6:

а) б) в) г)

Вариант 7:

а) б) в) г)

Вариант 8:

а) б) в) г)

Вариант 9:

а) б) в) г)

Вариант 10:

а) б) в) г)

Вариант 11:

а) б) в) г)

Вариант 12:

а) б) в) г)

Вариант 13:

а) б) в) г)

Вариант 14:

а) б) в) г)

Вариант 15:

а) б) в) г)

Вариант 16:

а) б) в) г)

Вариант 17:

а) б) в) г)

Вариант 18:

а) б) в) г)

Вариант 19:

а) б) в) г)

Вариант 20:

а) б) в) г)

Вариант 21:

а) б) в) г)

Вариант 22:

а) б) в) г)

Вариант 23:

а) б) в) г)

Вариант 24:

а) б) в) г)

Вариант25:

а) б) в) г)

Вариант 26:

а) б) в) г)

Вариант 27:

а) б) в) г)

Вариант 28:

а) б) в) г)

Вариант 29:

а) б) в) г)

Вариант 30:

а) б) в) г)

 

Задание 3 .Найти производные функций.

В пункте в) найти вторую производную:

Вариант 1:

а) б) в)

Вариант 2:

а) б) в)

Вариант 3:

а) б) в)

Вариант 4:

а) б) в)

Вариант 5:

а) б) в)

Вариант 6:

а) б) в)

Вариант 7:

а) б) в)

Вариант 8:

а) б) в)

Вариант 9:

а) б) в)

Вариант 10:

а) б) в)

Вариант 11:

а) б) в)

Вариант 12:

а) б) в)

Вариант 13:

а) б) в)

Вариант 14:

а) б) в)

Вариант 15:

а) б) в)

Вариант 16:

а) б) в)

Вариант 17:

а) б) в)

Вариант 18:

а) б) в)

Вариант 19:

а) б) в)

Вариант 20:

а) б) в)

Вариант 21:

а) б) в)

Вариант 22:

а) б) в)

Вариант 23:

а) б) в)

Вариант 24:

а) б) в)

Вариант 25:

а) б) в)

Вариант 26:

а) б) в)

Вариант 27:

а) б) в)

Вариант 28:

а) б) в)

Вариант 29:

а) б) в)

Вариант 30:

а) б) в)

 

Задание 4: Исследовать функцию и построить график

Вариант1. Вариант 2. у=
Вариант 3. Вариант 4.
Вариант 5. Вариант 6.
Вариант 7. Вариант 8.
Вариант 9. Вариант 10.
Вариант 11. Вариант 12.
Вариант 13. Вариант 14.
Вариант 15. Вариант 16.
Вариант 17. Вариант 18.
Вариант 19. Вариант 20.
Вариант 21. Вариант 22.
Вариант 23. Вариант 24.
Вариант 25. Вариант 26.
Вариант 27. Вариант 28.
Вариант 29. Вариант 30.

 


 

 

Задание 5: Найти неопределенные интегралы и вычислить определенный интеграл:

 

Вариант 1:

а) б) в)

Вариант 2:

а) б) в)

Вариант 3:

а) б) в)

Вариант 4:

а) б) в)

Вариант 5:

а) б) в)

Вариант 6:

а) б) в)

Вариант 7:

а) б) в)

Вариант 8:

а) б) в)

Вариант 9:

а) б) в)

Вариант 10:

а) б) в)

Вариант 11:

а) б) в)

Вариант 12:

а) б) в)

Вариант 13:

а) б) в)

Вариант 14:

а) б) в)

Вариант 15:

а) б) в)

Вариант 16:

а) б) в)

Вариант 17:

а) б) в)

Вариант 18:

а) б) в)

Вариант 19:

а) б) в)

Вариант 20:

а) б) в)

Вариант 21:

а) б) в)

Вариант 22:

а) б) в)

Вариант 23:

а) б) в)

Вариант 24:

а) б) в)

Вариант 25:

а) б) в)

Вариант 26:

а) б) в)

Вариант 27:

а) б) в)

Вариант 28:

а) б) в)

Вариант 29:

а) б) в)

Вариант 30:

а) б) в)

 

Задание 6:Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертёж.

Вариант1. ; Вариант 2. ;
Вариант 3. ; Вариант 4. ;
Вариант 5. ; Вариант 6. ;
Вариант 7. ; Вариант 8. ;
Вариант 9. ; Вариант 10. ;
Вариант 11. ; Вариант 12. ;
Вариант 13. ; Вариант 14. ;
Вариант 15. ; Вариант 16. ;
Вариант 17. ; ; Вариант 18. ;
Вариант 19. ; Вариант 20. ; ;
Вариант 21. у=х2-8х+16, у=6-х Вариант 22. у=-х2+8х-11, у=х-1
Вариант 23. у=-х2+6х-7, у=х2-6х+9 Вариант 24. у=-х2+4х-2, у=х2-4х+4
Вариант 25. у=х2-8х+17, у=-х2+10х-19 Вариант 26. ,
Вариант 27. у = -х2+2х+9, у = 3х2-6х+5 Вариант 28. у=2х2+4х-5, у=х-4
Вариант 29. у=(х-2)3, у=4х-8 Вариант 30. у=х2-4х+7, у=3

 

 

Задание 7:Дано комплексное число . Требуется: 1) записать его в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения .

Вариант1. Вариант 2.
Вариант 3. Вариант 4.
Вариант 5. Вариант 6.
Вариант 7. Вариант 8.
Вариант 9. Вариант 10.
Вариант 11. Вариант 12.
Вариант 13. Вариант 14.
Вариант 15. Вариант 16.
Вариант 17. Вариант 18.
Вариант 19. Вариант 20.
Вариант 21. Вариант 22.
Вариант 23. Вариант 24.
Вариант 25. Вариант 26.
Вариант 27. Вариант 28.
Вариант 29. Вариант 30.

 


Решение типового варианта

Задание 1: Дана система линейных уравнений:

доказать ее совместность и решить тремя способами:

1) Методом Гаусса;

2) По формулам Крамера;

3) Средствами матричного исчисления.

Решение: Теорема Кронекера-Капелли. Система совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы этой системы равен рангу ее расширенной матрицы, т. е. r(A)=r(A1), где

, .

Расширенная матрица системы имеет вид:

.

Умножим первую строку на (–3),а вторую на (2); прибавим после этого элементы первой строки к соответствующим элементам второй строки; вычтем из второй строки третью. В полученной матрице первую строку оставляем без изменений.

~

Разделим элементы третьей строки на (6) и поменяем местами вторую и третью строки:

~ ~

Умножим вторую строку на (–11) и прибавим к соответствующим элементам третьей строки.

~

Разделим элементы третьей строки на (10).

~ ; ~ .

Найдем определитель матрицы А.

.

Следовательно, r(A)=3. Ранг расширенной матрицы r(A1) так же равен 3, т.е.

r(A)=r(A1)=3 Þ система совместна.

1) Исследуя систему на совместность, расширенную матрицу преобразовали по методу Гаусса.

Метод Гаусса состоит в следующем:

1. Приведение матрицы к треугольному виду, т. е. ниже главной диагонали должны находиться нули (прямой ход).

2. Из последнего уравнения находим х3 и подставляем его во второе, находим х2, и зная х3, х2 подставляем их в первое уравнение, находим х1 (обратный ход).

Запишем, преобразованную по методу Гаусса, расширенную матрицу

~

в виде системы трех уравнений:

Þ х3=1

х23 Þ х3=1

1=4+х23 Þ 1=4+1+1 Þ

Þ 1=6 Þ х1=3

Ответ: х1=3 , х2=1, х3=1.

2) Решим систему по формулам Крамера: если определитель системы уравнений Δ отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам

; ; .

Вычислим определитель системы Δ:

Т.к. определитель системы отличен от нуля, то согласно правилу Крамера, система имеет единственное решение. Вычислим определители Δ1, Δ2, Δ3. Они получаются из определителя системы Δ заменой соответствующего столбца на столбец свободных коэффициентов.

Находим по формулам неизвестные:

; ;

Ответ: х1=3 , х2=1, х3=1.

3) Решим систему средствами матричного исчисления, т. е. при помощи обратной матрицы.

А×Х=В Þ Х=А-1×В, где А-1 – обратная матрица к А,

- столбец свободных членов,

- матрица-столбец неизвестных.

Обратная матрица считается по формуле:

(*)

где D - определитель матрицы А, Аij – алгебраические дополнения элемента аij матрицы А. D = 60 (из предыдущего пункта). Определитель отличен от нуля, следовательно, матрица А обратима, и обратную к ней матрицу можно найти по формуле (*). Найдем алгебраические дополнения для всех элементов матрицы А по формуле:

Аij=(-1)i+j Mij .

Запишем обратную матрицу.

.

Сделаем проверку по формуле: А-1×А=Е.

А-1А=

Вывод: так как произведение А-1×А дает единичную матрицу, то обратная матрица А-1 найдена верно и решение системы определяется по формуле Х=А-1×В.

.

Ответ: х1=3 , х2=1, х3=1.

Проверка. Подставим полученные значения в систему. Получим:

Т. к. неизвестные х1 , х2, х3 обратили каждое уравнение в тождество, то они найдены верно.

 

Задание 2: Вычислить пределы, не пользуясь правилом Лопиталя

 

а) ;

Функция не определена при х=5 и поэтому разрывна в этой точке. Числитель и знаменатель в точке х=5 обращается в нуль, налицо неопределенность . Выделим общий множитель (х-5) и сократим на него числитель и знаменатель, считая х¹5, х ® 5.

.

б) ;

Ни числитель, ни знаменатель этой дроби не имеют конечного предела так как они неограниченно возрастают при неограниченном возрастании х, т. е. имеем дело с неопределенностью . Поделим числитель и знаменатель дроби на х2:

так как , , , при х ® ¥ – величины бесконечно малые.

в) ;

Поскольку числитель и знаменатель обращаются в нуль при х=0, то имеем дело с неопределенностью вида .

Воспользуемся тригонометрической формулой для преобразования знаменат


Конечно, для полного рассмотрения вопроса 'Теорема умножения вероятностей независимых', приведенной информации не достаточно, однако чтобы понять основы, её должно хватить. Если вы изучаете эту тему, с целью выполнения задания заданного преподавателем, вы можете обратится за консультацией в нашу компанию. В нашей команде работает большой состав специалистов, которые разбираются в изучаемом вами вопросе на экспертном уровне.

Хм, так же просматривали

Заказ

ФОРМА ЗАКАЗА

Бесплатная консультация

Наша компания занимается написанием студенческих работ. Мы выполняем: дипломные, курсовые, контрольные, задачи, рефераты, диссертации, отчеты по практике, решаем тесты и задачи, и многие другие виды заданий. Чтобы узнать стоимость, а так же условия выполнения работы заполните заявку на этой странице. Как только менеджер увидит ваше сообщение, он сразу же свяжется с вами.

Этапность

СОПРОВОЖДЕНИЕ КЛИЕНТА

Получить работу можно всего за 4 шага

01
Оставляете запрос

Оформляете заказ работы, заполняя форму на сайте.

02
Узнаете стоимость

Менеджер оценивает сложность. Узнаете точную цену.

03
Работа пишется

Оплачиваете и автор приступает к выполнению задания.

04
Забираете заказ

Получаете работу в электронном виде на вашу почту.

Услуги

НАШ СЕРВИС

Что мы еще делаем?

icon
Эссе

от 480 рублей

ПОДРОБНЕЕ
icon
Лабораторные работы

от 630 рублей

ПОДРОБНЕЕ
icon
Исследовательские работы

от 2800 рублей

ПОДРОБНЕЕ
icon
НИР (научно-исследовательские работы)

от 3300 рублей

ПОДРОБНЕЕ
icon
Научные статьи

от 2300 рублей

ПОДРОБНЕЕ
icon
Презентации

от 280 рублей

ПОДРОБНЕЕ