Слишком сложно? Тогда запросите консультацию специалиста!
Наша компания занимается тем, что помогает студентам выполнять различные учебные работы на заказ. Вы можете ознакомиться с перечнем выполняемых работ, а так же с их стоимостью на странице с ценами.
№1 Кольца и поля вычетов
Преступим, в начале, к построению кольца вычетов 
. И так пусть 
- множество целых чисел, тогда обозначим символом фактор множество множества по отношению сравнимости по модулю 
.(то есть это множество классов эквивалентности таких, что два элемента 
и 
принадлежат данному классу тогда и только тогда когда 
- целое число, или и дают одинаковый остаток при делении на ). Обозначим за 
класс эквивалентности содержащей число . Тогда множество 
.Очевидно 
, 
. Докажем, что отношение сравнимости по модулю согласовано с операциями сложения и умножения.
Очевидно: Если 
и 
, то 
и 
это означает, что можно в множестве определить операции 
и 
. Докажем что коммутативное ассоциативное кольцо с единицей.
Действительно: 1) 
коммутативность.
2) 
ассоциативность.
3) 
особая роль нуля.
4) 
докажем что 
существует: Пусть 
и 
, тогда 
и 
, так как для 
определённого выше 
, то утверждение очевидно.
5) 
6) 
7) 
8) 
Докажем, что 
есть поле, тогда и только тогда, когда 
простое число.
Необходимость: Поведём от противного, пусть 
, тогда 
, если - поле все элементы обратимы, а значит 
что противоречат условию.
Достаточность: Пусть простое число и 
докажем что 
Умножим 
на все элементы кольца получим 
причём все они различны действительно если б 
, то 
чего не может быть так как простое число, но значит среди обязательно найдётся такое 
Важно отметить, что в поле имеет место, следующее равенство: 
Число называют характеристикой поля , обозначают 
.
Очевидно, что в поле 
для 
.
№2 Малая теорема Ферма
Лемма: В поле для 
, справедливо соотношение 
.
Доказательство: Очевидно, 
, рассмотрим подробнее выражение 
где 
, тогда учитывая, что и 
получим 
, откуда и следует утверждение леммы.
Теорема(Ферма): В поле для 
справедливо равенство: 
( 
)
Доказательство: Из леммы очевидна следующая цепочка равенств:
, и так далее имеем: 
, положим 
и 
, получим: 
, откуда и следует утверждение теоремы.
