Слишком сложно? Тогда запросите консультацию специалиста!
Наша компания занимается тем, что помогает студентам выполнять различные учебные работы на заказ. Вы можете ознакомиться с перечнем выполняемых работ, а так же с их стоимостью на странице с ценами.
Решение.
1. Ω = {11,12,13,14,15,16, 21, 22,..., 66},
2. Ω = {2,3,4,5,6, 7,8,9,10,11,12}
3. ● A = {16,61,34, 43, 25, 52};
● B = {11,12, 21,13,31,14, 41,15, 51,16, 61}
● C = {12, 21,36,63,45, 54,33,15, 51, 24,42,66}.
● D= {СУММА ОЧКОВ РАВНА 2 ИЛИ 3 };
● E= {СУММА ОЧКОВ РАВНА 10}.
| Задача 3Даны две электрические схемы: |
Описать событие: С ={ЦЕПЬ ЗAМКНУТA} для каждого случая.
Решение.Введем обозначения: событие A- контакт 1 замкнут; событие В- контакт 2 замкнут; событие С- цепь замкнута, лампочка горит.
1. Для параллельного соединения цепь замкнута, когда хотя бы один из контактов замкнут, поэтому С = A + В;
2. Для последовательного соединения цепь замкнута, когда замкнуты оба контакта, поэтому С = A · В.
Задача. 1.1.4Составлены две электрические схемы:
Событие A — цепь замкнута, событие A i - i–й контакт замкнут. Для какой из них справедливо соотношение
A1 · (A2 + A3 · A4) · A5 = A?
Решение.Для первой схемы A = A1 · (A2 · A3 + A4 · A5), так как параллельному соединению соответствует сумма событий, а последовательному соединению — произведение событий. Для второй схемы A = A1 • (A2 + A3• A4• A5). Следовательно, данное соотношение справедливо для второй схемы.
Задача. 1.1.5Упростить выражение (A + B)(B + C)(C+ A).
Решение. Воспользуемся свойствами операций сложения и умножения событий.
(A + B)(B + C)(A + C) =
(AB + AC + B B + BC)(A + C) =
= (AB + AC + B + BC)(A + C) =
(AB + AC + B)(A + C) = (B + AC)(A + C) =
= BA + BC + ACA + ACC = B A + BC + AC.
Задача. 1.1.6Доказать, что события A,AB и A+B образуют полную группу.
Решение. При решении задачи воспользуемся свойствами операций над событиями. В начале покажем, что эти события попарно несовместны.
A теперь покажем, что сумма этих событий дает пространство элементарных событий.
Задача. 1.1.7С помощью схемы Эйлера–Венна проверить правило де-Моргана:
___ _ _
AB = A+B.
__
а) Заштриховано событие AB.
__ __
б) Событие A — вертикальная штриховка; событие B — горизонтальная штриховка. Событие
__ __
{A+B} — заштрихованная область.
Из сопоставления рисунков а) и в) следует:
___ _ _
AB = A+B.
Задача. 1.2.1Сколькими способами можно рассадить 8 человек:
1. В один ряд?
2. За круглым столом?
Решение.
1. Искомое число способов равно числу перестановок из 8, т.е.
P8 = 8! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 = 40320
2. Так как за круглым столом выбор первого человека не влияет на чередование элементов, то первым можно взять любого, а оставшихся упорядочим относительно выбранного. Это действие можно осуществить 8!/8 = 5040 способами.
Задача. 1.2.2На курсе изучается 5 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на субботу, если в этот день должны быть две различные пары?
|
Решение. Искомое число способов есть число размещений
из 5 по 2, так как нужно учесть порядок пар:
Задача. 1.2.3Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 7 человек, можно составить из 15 преподавателей?
Решение. Искомое число комиссий (без учета порядка) — это число сочетаний из 15 по 7:
Задача. 1.2.4Из корзины, содержащей двадцать пронумерованных шаров выбирают на удачу 5 шаров. Определить число элементов пространства элементарных событий этого опыта, если:
шары выбираются последовательно один за другим с возвращением после каждого извлечения;
шары выбирают один за другим, не возвращая;
выбирают сразу 5 шаров.
Решение.
Число способов извлечь первый шар из корзины равно 20. Так как извлеченный шар вернулся в корзину, то число способов извлечь второй шар также равно 20 и т.д. Тогда число способов извлечь 5 шаров в этом случае равно 20 · 20 · 20 · 20 · 20 = 3200000.
Число способов извлечь первый шар из корзины равно 20. Так как извлеченный шар после извлечения не вернулся в корзину, то число способов извлечь второй шар стало равно 19 и т.д. Тогда число способов извлечь 5 шаров без возвращения равно 20 · 19 · 18 · 17 · 16 = A520
Число способов извлечь из корзины 5 шаров сразу равно числу сочетаний из 20 по 5:
Задача. 1.2.5Подброшены две игральные кости. Найти вероятность события A того, что выпадет хотя бы одна единица.
Решение.На каждой кости может выпасть любое число очков от 1 до 6. Поэтому пространство элементарных событий содержит 36 равновозможных исходов. Событию A благоприятствуют 11 исходов: (1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (1,4), (4,1), (1,5), (5,1), (1,6), (6,1), поэтому
Задача. 1.2.6На красных карточках написаны буквы у, и, я, к, ц, ф, н, на синих — буквы а, а, о, т, т, с, ч. После тщательного перемешивания, что вероятнее: с первого раза из букв на красных карточках составить слово «функция» или из букв на синих карточках слово «частота»?
Решение.Пусть событие A — наудачу составленное из 7 букв слово «функция», событие B — наудачу составленное из 7 букв слово «частота». Так как упорядочиваются два множества из 7 букв, то число всех исходов для событий A и B равно n = 7!. Событию A благоприятствует один исход m = 1, так как все буквы на красных карточках различны. Событию B благоприятствуют m = 2! · 2! исходов, так как буквы «а» и «т» встречаются дважды. Тогда P(A) = 1/7! , P(B) = 2! • 2! /7! , P(B) > P(A).
Задача. 1.2.7На экзамене студенту предлагается 30 билетов; в каждом билете два вопроса. Из 60 вопросов, вошедших в билеты, студент знает только 40. Найти вероятность того, что взятый студентом билет будет состоять
1. из известных ему вопросов;
2. из неизвестных ему вопросов;
3. из одного известного и одного неизвестного вопроса.
Решение.Пусть A — событие, состоящее в том, что на оба вопроса студент знает ответ; B — не знает ответа на оба вопроса; C — на один вопрос знает ответ, на другой — не знает. Выбор двух вопросов из 60 можно осуществить n = C260 = 602·59 = 1770 способами.
1. Имеется m = C240 = 402·39 = 780 возможностей выбора известных студенту вопросов. Тогда P(A) = mn = 1778700 = 0,44
2. Выбор двух неизвестных вопросов из 20 можно осуществить m = C220 = 202·19 = 190 способами. В таком случае
P(B) = mn = 1179700 = 0,11
3. Существует m = C140 ·C210 = 40·20 = 800 способов выбрать билет с одним известным и одним неизвестным вопроcом. Тогда P(C) = 1870700 = 0,45.
Задача. 1.2.8По трем каналам послана некоторая информация. Каналы работают независимо друг от друга. Найти вероятность того, что информация достигнет цели
1. только по одному каналу;
2. хотя бы по одному каналу.
Решение. Пусть A — событие, состоящее в том, что информация достигает цели только по одному каналу; B — хотя бы по одному каналу. Опыт — передача информации по трем каналам. Исход опыта — информация достигла цели. Обозначим Ai — информация достигает цели по i-му каналу. Пространство элементарных событий имеет вид:
|
Событию A благоприятствуют 3 исхода:
|
Событию B благоприятствуют 7 исходов: все исходы, кроме 
Тогда n = 8; mA = 3; mB = 7; P(A) = 38 ; P(B) = 78.
Задача. 1.2.9На отрезке единичной длины случайным образом появляется точка. Найти вероятность того, что расстояние от точки до концов отрезка больше 1/8.
Решение. По условию задачи искомому событию удовлетворяют все точки, появляющиеся на интервале (a; b).
|
Так как его длина s = 1 - 18 + 18 = 34, а длина всего отрезка S = 1, то искомая вероятность равна P = s/S = 3/14 = 0.75.
Задача. 1.2.10В партии из n изделий k изделий являются бракованными. Для контроля выбирается m изделий. Найти вероятность того, что из m изделий l окажутся бракованными (событие А).
Решение. Выбор m изделий из n можно осуществить 
способами, а выбор l бракованных из k бракованных — 
способами. После выбора l бракованных изделий останется (m - l ) годных, находящихся среди (n - k) изделий. Тогда число исходов, благоприятствующих событию A, равно 
·
и искомая вероятность 
Задача. 1.3.1B урне 30 шаров: 15 красных, 10 синих и 5 белых. Найти вероятность того, что наугад вынутый шар — цветной.
Решение. Пусть событие A — вынут красный шар, событие B — вынут синий шар. Тогда события (A + B) — вынут цветной шар. Имеем P(A) = 1350 = 12 , P(B) = 1300 = 13. Так как
события A и B несовместны, то P(A + B) = P(A) + P(B) = 12 + 13 = 56 = 0.83.
Задача. 1.3.2Вероятность того, что будет снег (событие A), равна 0.6, а того, что будет дождь (событие B), равна 0.45. Найти вероятность плохой погоды, если вероятность дождя со снегом (событие AB) равна 0.25.
Решение. События A и B совместны, поэтому P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0.6 + 0.45 - 0.25 = 0.8
Задача. 1.3.3B первом ящике 2 белых и 10 черных шаров, во втором — 3 белых и 9 черных шаров, в третьем — 6 белых и 6 черных шаров. Из каждого ящика вынули по шару. Найти вероятность того, что все вынутые шары белые.
Решение. Событие A — вынут белый шар из первого ящика, B — из второго ящика, C – из третьего. Тогда P(A) = 122 = 16; P(B) = 132 = 14; P(C) = 162 = 12. Событие ABC — все вынутые
шары — белые. События A,B,C — независимые, поэтому
P(ABC) = P(A)·P(B)·P(C) = 16 · 14 · 12 = 418 = 0.02
Задача. 1.3.4B электрическую цепь последовательно включены 5 элементов, работающие независимо друг от друга. Вероятность отказов первого, второго, третьего, четвертого, пятого элементов соответственно равны 0.1; 0.2; 0.3; 0.2; 0.1. Найти вероятность того, что тока в цепи не будет (событие A).
Решение. Так как элементы включены последовательно, то тока в цепи не будет, если откажет хотя бы один элемент. Событие Ai(i =1...5) — откажет i -й элемент. События
Задача. 1.3.5Цепь состоит из независимых блоков, соединенных в систему с одним входом и одним выходом.
Выход из строя за время Т различных элементов цепи - независимые события, имеющие следующие вероятности P 1= 0.1; P2= 0.2; P3= 0.3; P4= 0.4. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Найти надежность системы.
Решение. Если событие A — {СИСТЕМА НАДЕЖНА}, Ai — {i- й БЛОК РАБОТАЕТ БЕЗОТКАЗНО}, то A = (A1 + A2)(A3 + A4). События A1+A2, A3+A4 — независимые, события A1 и A2, A3 и A4 — совместные. По формулам умножения и сложения вероятностей
Задача. 1.3.6Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, равна для первого станка 0.9, для второго станка — 0.8, для третьего станка — 0.7.
Найти вероятность того, что в течение некоторого часа
1. потребует внимания второй станок;
2. потребуют внимания два станка;
3. потребуют внимания не менее двух станков.
Решение. Пусть Ai — i-й станок потребует внимания рабочего, 
— i-й станок не потребует внимания рабочего. Тогда
Пространство элементарных событий:
1. Событие A — потребует внимания второй станок: Тогда
Так как события несовместные и независимые. P(A) = 0.9·0.8·0.7 + 0.1·0.8·0.7 + 0.9·0.8·0.3 + 0.1·0.8·0.3 = 0.8
2. Событие B — потребуют внимания два станка:
3. Событие C — потребуют внимания не менее двух стан
ков:
Задача. 1.3.7B машину «Экзаменатор» введено 50 вопросов. Студенту предлагается 5 вопросов и ставится оценка «отлично», если на все вопросы получен верный ответ. Найти вероятность получить “отлично”, если студент подготовил только 40 вопросов.
Решение. A — {ПОЛУЧЕНА ОЦЕНКА «ОТЛИЧНО»}, Ai — {ОТВЕТИЛ НА i- й ВОПРОС}. Тогда A = A1A2A3A4A5, имеем:
Или, другим способом — c помощью формулы классической вероятности: 
и
Задача. 1.3.8Вероятности того, что нужная сборщику деталь находится в I, II, III, IV ящике, соответственно равны 0.6; 0.7; 0.8; 0.9. Найти вероятность того, что сборщику придется проверить все 4 ящика (событие A).
Решение. Пусть Ai — {Нужная сборщику деталь находится в i-м ящике.} Тогда
Имеем :
Так как события несовместны и независимы, то
Задача. 1.4.1Обследовалась группа из 10000 человек в возрасте свыше 60 лет. Оказалось, что 4000 человек являются постоянно курящими. У 1800 курящих обнаружились серьезные изменения в легких. Среди некурящих изменения в легких имели 1500 человек. Какова вероятность того, что наугад обследованный человек, имеющий изменения в легких, является курящим?
Решение.Введем гипотезы: H1 — обследованный является постоянно курящим, H2 — является некурящим. Тогда по условию задачи
4000 6000
P(H1)= ------- =0,4, P(H2)=--------- =0,6
10000 10000
Обозначим через A событие, состоящее в том, что обследованный имеет изменения в легких. Тогда по условию задачи
По формуле (1.15) находим
Искомая вероятность того, что обследованный человек является курящим, по формуле Байеса равна
Задача. 1.4.2В продажу поступают телевизоры трех заводов: 30% с первого завода, 20% — со второго, 50% — с третьего. Продукция первого завода содержит 20% телевизоров со скрытым дефектом, второго — 10% , третьего — 5%. Какова вероятность приобрести исправный телевизор?
Решение. Рассмотрим события: A — приобретен исправный телевизор; гипотезы H1, H2, H3 — телевизор поступил в продажу соответственно с первого, второго, третьего завода. По условию задачи
По формуле (1.15) находим
Задача. 1.4.3Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом 20 белых шаров, во втором — 10 белых и 10 черных шаров, в третьем — 20 черных шаров. Из наугад выбранного ящика вынут белый шар. Найти вероятность того, что этот шар из второго ящика.
Решение. Пусть событие A — вынут белый шар, гипотезы H1, H2, H3 — шар вынут соответственно из первого, второго, третьего ящика. Из условия задачи находим
Тогда 
по формуле (1.15) находим
По формуле (1.16) находим
Задача. 1.4.4Телеграфное сообщение состоит из сигналов «точка» и «тире». Статистические свойства помех таковы, что искажаются в среднем 2/5 сообщений «точка» и 1/3 сообщений «тире». Известно, что среди передаваемых сигналов «точка» и «тире» встречаются в соотношении 5 : 3. Определить вероятность того, что принят передаваемый сигнал, если:
а) принят сигнал «точка»;
б) принят сигнал «тире».
Решение. Пусть событие A — принят сигнал «точка», а событие B — принят сигнал «тире».
Можно сделать две гипотезы: H1 — передан сигнал «точка», H2 — передан сигнал «тире». По условию P(H1) : P(H2) =5 : 3. Кроме того, P(H1) + P(H2) = 1. Поэтому P(H1) = 5/8, P(H2) = 3/8. Известно, что
Вероятности событий A и B находим по формуле полной вероятности:
Искомые вероятности будут:
Задача. 1.4.5Из 10 каналов радиосвязи 6 каналов защищены от воздействия помех. Вероятность того, что защищенный канал в течении времени t не выйдет из строя, равна 0.95, для незащищенного канала - 0.8. Найти вероятность того, что случайно выбранные два канала не выйдут из строя в течение времени t, причем оба канала не защищены от воздействия помех.
Решение. Пусть событие A - оба канала не выйдут из строя в течение времени t, событие A1 - выбран защищенный канал, A2 - выбран незащищенный канал.
Запишем пространство элементарных событий для опыта - {выбрано два канала}:
Ω = {A1A1, A1A2, A2A1, A2A2}
Гипотезы:
H1 - оба канала защищены от воздействия помех;
H2 - первый выбранный канал защищен, второй выбранный канал не защищен от воздействия помех;
H3 - первый выбранный канал не защищен, второй выбранный канал защищен от воздействия помех;
H4 — оба выбранных канала не защищены от помех. Тогда
и 
Задача. 1.5.1По каналу связи передается 6 сообщений. Каждое из сообщений может быть искажено помехами с вероятностью 0.2 независимо от других. Найти вероятность того, что
1. 4 сообщения из 6 не искажены;
2. не менее 3 из 6 переданы искаженными;
3. хотя бы одно сообщение из 6 искажено;
4. не более 2 из 6 не искажены;
5. все сообщения переданы без искажения.
Решение. Так как вероятность искажения 0.2, то вероятность передачи сообщения без помех — 0.8.
1. Используя формулу Бернулли (1.17), найдем вероят
ность передачи 4 сообщений из 6 без помех:
2. не менее 3 из 6 переданы искаженными:
3. хотя бы одно сообщение из 6 искажено:
4. хотя бы одно сообщение из 6 искажено:
5. все сообщения переданы без искажения:
Задача. 1.5.2Вероятность того, того, что летом день будет ясным, равна 0.42; вероятность пасмурного дня равна 0.36 и переменной облачности - 0.22. Сколько дней из 59 можно ожидать ясных и пасмурных?
Решение. Из условия задачи видно, что надо искать наиболее вероятное число ясных и пасмурных дней.
Для ясных дней p = 0.42, n = 59. Составляем неравенства (1.20):
59 • 0.42 + 0.42 — 1 < m0< 59 • 0.42 + 0.42.
Отсюда
24.2 ≤ mo≤ 25.2 → mo= 25.
Для пасмурных дней p = 0.36, n = 59 и
0.36 • 59 + 0.36 — 1 ≤ M0≤ 0.36 • 59 + 0.36;
Следовательно 20.16 ≤ M0≤ 21.60; → M0= 21.
Таким образом, наиболее вероятное число ясных дней mo=25, пасмурных дней - M0 = 21. Тогда летом можно ожидать mo+ M0 =46 ясных и пасмурных дней.
Задача. 1.5.3На лекции по теории вероятностей присутствует 110 студентов курса. Найти вероятность того что
1. k студентов (k = 0,1,2) из присутствующих родились первого сентября;
2. хотя бы один студент курса родился первого сентября.
Решение.Вероятность родиться 1 сентября любому студенту курса
p =1/365 очень мала, поэтому используем формулу Пуассона (1.22). Найдем параметр Пуассона. Так как
n = 110, то λ = np = 110 • 1 /365 = 0.3.
Тогда по формуле Пуассона 
Задача. 1.5.4Вероятность того, что деталь не стандартная, равна 0.1. Сколько деталей нужно отобрать, чтобы с вероятностью P = 0.964228 можно было утверждать, что относительная частота появления нестандартных деталей отклоняется от постоянной вероятности p = 0.1 по абсолютной величине не более, чем на 0.01 ?
Решение.
Требуемое число n найдем по формуле (1.25). Имеем:
p = 1.1; q = 0.9; P = 0.96428. Подставим данные в формулу:
Откуда находим
По таблице значений функции Φ(x) находим, что
Задача. 1.5.5Вероятность выхода из строя за время Т одного конденсатора равна 0.2. Определить вероятность того, что за время Т из 100 конденсаторов выйдут из строя
1. ровно 10 конденсаторов;
2. не менее 20 конденсаторов;
3. менее 28 конденсаторов;
4. от 14 до 26 конденсаторов.
Решение. Имеем п = 100, p = 0.2, q = 1 - p = 0.8.
1. Ровно 10 конденсаторов.
Так как п велико, воспользуемся локальной теоремой Муавра - Лапласа: 
Вычислим 
Так как функция φ(х) — четная, то φ(-2,5) = φ(2,50) = 0,0175 (находим по таблице значений функции φ(х). Искомая вероятность
2. Не менее 20 конденсаторов;
Требование, чтобы из 100 конденсаторов из строя вышли не менее 20, означает, что из строя выйдут либо 20, либо 21, ..., либо 100. Таким образом, т1 = 20, т2 =100. Тогда
По таблице значений функции Φ(x) найдем Φ(x1) = Φ(0) = 0, Φ(x2) = Φ(20) = 0.5. Искомая вероятность:
3. Менее 28 конденсаторов;
(здесь было учтено, что функция Лапласа Ф(x) - нечетная).
4. От 14 до 26 конденсаторов. По условию m1= 14, m2 = 26.
Вычислим x 1,x2:
Задача. 1.5.6Вероятность появления некоторого события в одном опыте равна 0.6. Какова вероятность, что это событие появиться в большинстве из 60 опытов?
Решение. Количество m появлений события в серии испытаний находится в промежутке [0; 60]. «В большинстве опытов» означает, что m принадлежит промежутку[30, 60.] По условию n = 60, p = 0.6, q = 0.4, m1 = 30, m2 = 60. Вычислим x1 и x2:
|
Случайные величины и их распределения
Задача. 2.1.1Дана таблица, где в верхней строке указаны возможные значения случайной величины X, а в нижней — их вероятности.
Может ли эта таблица быть рядом распределения X?
Ответ: Да, так как p1 + p2 + p3 + p4 + p5 = 1
Задача. 2.1.2Выпущено 500 лотерейных билетов, причем 40 билетов принесут их владельцам выигрыш по 10000 руб., 20 билетов — по 50000 руб., 10 билетов — по 100000 руб., 5 билетов — по 200000 руб., 1 билет — 500000 руб., остальные — без выигрыша. Найти закон распределения выигрыша для владельца одного билета.
Решение.
Возможные значения X: x5 = 10000, x4 = 50000, x3 = 100000, x2 = 200000, x1 = 500000, x6 = 0. Вероятности этих возможных значений:
Искомый закон распределения:
Задача. 2.1.3Стрелок, имея 5 патронов, стреляет до первого попадания в цель. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0.7. Построить закон распределения числа использованных патронов, найти функцию распределения F(x) и построить ее график, найти P(2 < x < 5).
Решение.
Пространство элементарных событий опыта
Ω = {1, 01, 001, 0001, 00001, 11111},
где событие {1} - попал в цель, событие {0} - не попал в цель. Элементарным исходам соответствуют следующие значения случайной величины числа использованных патронов: 1, 2, 3, 4, 5. Так как результат каждого следующего выстрела не зависит от предыдущего, то вероятности возможных значений:
p1= P(x1= 1) = P(1) = 0.7; p2 = P(x2= 2) = P(01) = 0.3 · 0.7 = 0.21;
p3= P(x3= 3) = P(001) = 0.32 · 0.7 = 0.063;
p4 = P(x4= 4) = P(0001) = 0.33 · 0.7 = 0.0189;
p5= P(x5 = 5) = P(00001 + 00000) = 0.34 · 0.7 + 0.35 = 0.0081.
Искомый закон распределения:
Найдем функцию распределения F(x), пользуясь формулой (2.5)
x ≤1, F(x) = P(X < x) = 0
1 < x ≤2, F(x) = P(X < x) = P1(X1 = 1) = 0.7
2 < x ≤ 3, F(x) = P1(X = 1) + P2(x = 2) = 0.91
3 < x ≤ 4, F(x) = P1 (x = 1) + P2(x = 2) + P3(x = 3) =
= 0.7 + 0.21 + 0.063 = 0.973
4 < x ≤ 5, F(x) = P1(x = 1) + P2(x = 2) + P3(x = 3) +
+P4(x = 4) = 0.973 + 0.0189 = 0.9919
x > 5, F(x) = 1
Найдем P(2 < x < 5). Применим формулу (2.4): P(2 < x < 5) = F(5) — F(2) = 0.9919 — 0.91 = 0.0819
Задача. 2.1.4Дана F(x) некоторой случайной величины:
Записать ряд распределения дляX.
Решение.
Из свойств F(x) следует, что возможные значения случайной величины X - точки разрыва функции F(x), а соответствующие им вероятности - скачки функции F(x). Находим возможные значения случайной величины X={0,1,2,3,4}. 
Задача. 2.1.5Установить, какая из функций
является функцией распределения некоторой случайной величины.
В случае утвердительного ответа, найти вероятность того, что соответствующая случайная величина принимает значения на [-3,2].
Решение. Построим графики функций F1(x) и F2(x):
Функция F2(x) не является функцией распределения, так как не является неубывающей. Функция F1(x) является
функцией распределения некоторой случайной величины, так как является неубывающей и удовлетворяет условию (2.3). Найдем вероятность попадания на промежуток: 
Задача. 2.1.6Дана плотность вероятности непрерывной случайной величины X:
Найти:
1. коэффициент C;
2. функцию распределения F(x);
3. вероятность попадания случайной величины в интервал (1, 3).
Решение. Из условия нормировки (2.9)находим
Следовательно,
По формуле (2.10) находим:
Таким образом,
По формуле (2.4) находим
Задача. 2.1.7Случайное время простоя радиоэлектронной аппаратуры в ряде случаев имеет плотность вероятности
где M = lge = 0.4343...
Найти функцию распределения F(x).
Решение. По формуле (2.10) находим
где 
Задача. 2.2.1Дан ряд распределения дискретной случайной величины X:
Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение, M[2X + 3], D[-3X + 2].
Решение.
По формуле (2.12) находим математическое ожидание:
M[X] = x1p1 + x2p2 + x3p3 + x4p4 = 10 · 0.2 + 20 · 0.15 + 30 · 0.25 + 40 · 0.4 = 28.5
M[2X + 5] = 2M[X] + M[5] = 2M[X] + 5 = 2 · 28.5 + 5 = 62. По формуле (2.19) найдем дисперсию:
Задача. 2.2.2Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение непрерывной случайной величины X, функция распределения которой
. 
Решение. Найдем плотность вероятности:
Математическое ожидание найдем по формуле (2.13):
Дисперсию найдем по формуле (2.19):
Найдем сначала математическое ожидание квадрата случайной величины:
Тогда 
Среднее квадратичное отклонение
Задача. 2.2.3Дискретная случайная величина X имеет ряд распределения:
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y = eX.
Решение. M[Y] = M[eX] = e-- 1· 0.2 + e0 · 0.3 + e1 · 0.4 + e2 · 0.1 =
= 0.2 · 0.3679 + 1 · 0.3 + 2.71828 · 0.4 + 7.389 · 0.1 = 2.2.
D[Y] = D[ex] = M[(eX )2— M2[eX] =
[(e-1 )2 • 0.2 + (e0)2 • 0.3 + (e1 )2 • 0.4 + (e2)2 • 0.1] — (2.2)2 =
= (e--2 • 0.2 + 0.3 + e2 • 0.4 + e4 • 0.1) — 4.84 = 8.741 — 4.84 = 3.9.
Задача. 2.2.4Дискретная случайная величина X может принимать только два значения x1и x2, причем x1 < x2. Известны вероятность p1 = 0.2 возможного значения x1, математическое ожидание M[X] = 3.8 и дисперсия D[X] = 0.16. Найти закон распределения случайной величины.
Решение. Так как случайная величина X принимает только два значения x1 и x2, то вероятность p2 = P(X = x2) = 1 - p1 = 1 - 0.2 = 0.8.
По условию задачи имеем:
M[X] = x1p1 + x2p2 = 0.2x1 + 0.8x2 = 3.8;
D[X] = (x21p1 + x22p2) - M2[X] = (0.2x21 + 0.8x22) - (0.38)2 = 0.16.
Таким образом получили систему уравнений:
Условию x1<x2 удовлетворяет решение x1 = 3. x = 4. Поэтому искомый закон распределения имеет вид: 
Задача. 2.2.5Случайная величина X подчинена закону распределения, график плотности которого имеет вид:
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.
Решение. Найдем дифференциальную функцию распределения f(x). Вне интервала (0, 3) f(x) = 0. На интервале (0, 3) график плотности есть прямая с угловым коэффициентом k = 2/9, проходящая через начало координат. Таким образом, 
Математическое ожидание:
Найдем дисперсию и среднее квадратичное отклонение:
Задача. 2.2.6Найти математическое ожидание и дисперсию суммы очков, выпадающих на четырех игральных кубиках при одном бросании.
Решение. Обозначим A — число очков на одном кубике при одном бросании, B – число очков на втором кубике, C — на третьем кубике, D — на четвертом кубике. Для случайных величин A, B, C, D закон распределения 
один.
Тогда M[A] = M[B] = M[C] = M[D] = (1+2+3+4+5+6) / 6 = 3.5
|
Задача. 2.3.1Вероятность того, что частица, вылетевшая из радиоактивного источника, будет зарегистрирована счетчиком, равна 0.0001. За время наблюдения из источника вылетело 30000 частиц. Найти вероятность того, что счетчик зарегистрировал:
1. ровно 3 частицы;
2. ни одной частицы;
3. не менее 10 частиц.
Решение. По условию п = 30000, p = 0.0001. События, состоящие в том, что частицы, вылетевшие из радиоактивного источника, зарегистрированы, независимы; число п велико, а вероятность p мала, поэтому воспользуемся распределением Пуассона: 
Найдем λ : λ = пp = 30000 • 0.0001 = 3 = М[Х]. Искомые вероятности:
Задача. 2.3.2В партии 5% нестандартных деталей. Наудачу отобраны 5 деталей. Написать закон распределения дискретной случайной величины X — числа нестандартных деталей среди пяти отобранных; найти математическое ожидание и дисперсию.
Решение. Дискретная случайная величина X — число нестандартных деталей — имеет биномиальное распределение и может принимать следующие значения: x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2, x4 = 3, x5 = 4, x6 = 5. Вероятность нестандартной детали в партии p = 5/100 = 0.05. Найдем вероятности этих возможных значений:
Напишем искомый закон распределения:
Найдем числовые характеристики:
0 • 0.7737809 + 1 • 0.2036267 + 2 • 0.0214343+
+ 3 • 0.0011281 + 4 • 0.0000297 + 5 • 0.0000003 = 0.2499999 ≈ 0.250
или
M[X] = n • p = 5 • 0.05 = 0.25.
D[X] = M[X2 ] – M2 [X] = 02 • 0.7737809 + 12 • 0.2036267+
+ 22 • 0.0214343 + 32 • 0.0011281 + 42 • 0.0000297 + 52 • 0.0000003- 0.0625 =
= 0.2999995 - 0.0625 = 0.2374995 ≈ 0.2375
или D[X] = n • p • (1 - p) = 5 • 0.05 • 0.95 = 0.2375.
Задача. 2.3.3Время обнаружения цели радиолокатором распределено по показательному закону
где 1/λ = 10сек. - среднее время обнаружения цели. Найти вероятность того, что цель будет обнаружена за время от 5до 15сек. после начала поиска.
Решение. Вероятность попадания случайной величины X в интервал (5, 15)найдем по формуле (2.8):
При 
получаем
= 0.6065(1 - 0.3679) = 0.6065 • 0.6321 = 0.3834
Задача. 2.3.4Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону с параметрами a = 0, σ = 20 мм. Записать дифференциальную функцию распределения f(x) и найти вероятность того, что при измерении допущена ошибка в интервале от 5 до 10 мм.
Решение. Подставим значения параметров a и σ в дифференциальную функцию распределения (2.35):
По формуле (2.42) найдем вероятность попадания случайной величины X в интервале [0, 5) :
Здесь значения функции Лапласа взяты по таблице.
Задача. 2.3.5Цена деления шкалы амперметра равна 0.1 ампера. Показания амперметра округляются до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0.03 ампера. Найти математическое ожидание, дисперсию ошибки округления отсчета и функцию F(x).
Решение. Ошибку округления отсчета можно считать распределенной равномерно на [0; 0.1], т.е. a = 0, b = 0.1. Тогда дифференциальная функция распределения f(x) будет иметь вид
|
