Слишком сложно? Тогда запросите консультацию специалиста!
Наша компания занимается тем, что помогает студентам выполнять различные учебные работы на заказ. Вы можете ознакомиться с перечнем выполняемых работ, а так же с их стоимостью на странице с ценами.
С понятием предела числовой последовательности 
тесно связано понятие предела функции 
в бесконечности. Здесь аргумент х, изменяясь, может принимать различные значения.
Определение.ЧислоА называется пределом функции y=f(x) при х, стремящимся к бесконечности, если для любого, сколь угодно малого положительного числа 
, найдется такое положительное число М>0 (зависящее от , т.е. М=М()), что при 
>M верно неравенство 
<.
|
В этом случае записывают:
у
А+ε
А
А-ε
 |
0 М х
Рис.5.2.1
С помощью логических символов определение можно записать следующим
образом: 
>0) (
) (
>M) <
Геометрически это же определение означает: как только >M график функции лежит внутри полосы шириной 2, т.е. 
<f(x)<
, какой бы узкой ни была эта полоса (рис.5.2.1)
Пример. Доказать, что 
Пусть 
. Найдем такое М>0, чтобы 
<
<
<, 
>10 х>41; М=41. если х>41 выполняется условие <.Значит,
Замечание. Приведенное определение предела функции подразумевает под высказыванием 
, что 
. Но т.к. возможны случаи 
или 
, то для определение совпадает с приведенным, а если , то ищется такое М, чтобы выполнялось условие x<-M
.
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки а (кроме, может, самой точкиа).
Определение.Число А называется пределом функциипри х, стремящимся к а(или в точке а), если для любого, сколь угодно малого положительного числа ε найдется такое положительное 
, что для всех х не равных а и удовлетворяющих условию x – a δ выполняется условие 
< ε
В этом случае записывают: 
. (5.2.1)
С помощью логических символов равенства (5.1) (или определение предела
функции) запишется:
>0) (
>0) (
<
) <.
Рассмотрим геометрический смысл предела функции.
y
А+ε
 |
А 2ε
 |
А-ε
 | |||
 | |||
 |
0 а-δ а х а+δ х
Рис.5.2.2
<
<
<
<ε <f(x)<A+ε (5.2.2)
Совместное выполнение неравенств (5.2.2) означает:
ЧислоА является пределом функции при x→a, если для любой -окрестности точки А найдется такая - окрестность точки а, соответствующие значения функции f(x) лежат -окрестности точки А, т.е. внутри полосы 
(шириной 2).
Замечание. Т.к. предел рассматривается при значениях 
(но 
), то поведение функции в самой точке а в данном случае не представляет интереса.
