Слишком сложно? Тогда запросите консультацию специалиста!
Наша компания занимается тем, что помогает студентам выполнять различные учебные работы на заказ. Вы можете ознакомиться с перечнем выполняемых работ, а так же с их стоимостью на странице с ценами.
Свойства вероятности 1° – 3°, установленные в классическом, геометрическом и статистическом определениях вероятности, в аксиоматическом определении принимаются в качестве системы аксиом (только свойство 3° формулируется в более общем виде), а вероятность задается как функция (нормированная мера), определенная на множестве событий.
Прежде, чем переходить к аксиоматике, уточним понятие случайного события. Если пространство элементарных событий 
имеет конечное или счетное число элементов, то действительно в соответствии с определением из раздела 1.2 случайным событием можно считать любое подмножество . Сложности возникают, когда пространство элементарных событий несчетно. Если и в этом случае под событием понимать любое подмножество , то корректно определить его вероятность удается не всегда (см. замечание в разделе 1.5 и пример в конце данного раздела).
В связи с этим, класс подмножеств W, которые считают событиями, ограничивают. При этом естественно требуют, чтобы этот класс был замкнут относительно операций над событиями, т.е. чтобы результат выполнения операций над событиями (в том числе и в счетном количестве) был снова событием.
-алгебра событий
Определение. Пусть W - произвольное множество. Класс 
подмножеств множества W (не обязательно всех) называется -алгеброй событий или -алгеброй подмножеств W, если выполнены следующие свойства:
А1) 
( -алгебра событий содержит достоверное событие);
А2) если 
, то 
(вместе с любым событием -алгебра содержит противоположное событие);
А3) если 
, то 
(вместе с любым конечным или счетным набором событий -алгебра содержит их сумму).
Свойства А1) – А3) часто называют аксиомами -алгебры.
Проверим, что этого набора аксиом достаточно для замкнутости класса подмножеств и относительно других операций над событиями.
1. 
( -алгебра событий содержит невозможное событие).
▲ Поскольку по А1), то 
в силу А2). ■
2. При выполнении А1) и А2) свойство А3) эквивалентно свойству А4):
А4) если , то 
(вместе с любым конечным или счетным набором событий -алгебра содержит их произведение).
▲ Докажем, что при выполнении А1) и А2) из А3) следует А4).
Если , то при всех 
по свойству А2) 
. Тогда из А3) следует, что 
, и по А2) дополнение к этому множеству также принадлежит , то есть 
. Но в силу свойств двойственности 
.
Доказательство в обратную сторону полностью аналогично. ■
3. Если 
, то 
.
▲ 
, так как , 
и по А4) их произведение также принадлежит . ■
Множества и только они далее будут считаться событиями, наступление которых возможно в результате данного случайного эксперимента.
Пример. Пусть 
- конечное пространство элементарных событий. Следующие классы подмножеств являются -алгебрами:
1. 
- тривиальная -алгебра.
2. 
, где А – произвольное подмножество .
3. - множество всех подмножеств (доказать, что при этом число всех подмножеств в равно 
).
Определим теперь вероятность как функцию, определенную на множестве событий (то есть функцию, которая каждому событию ставит в соответствие число), а точнее как неотрицательную нормированную меру, заданную на -алгебре событий 
.
