Слишком сложно? Тогда запросите консультацию специалиста!
Наша компания занимается тем, что помогает студентам выполнять различные учебные работы на заказ. Вы можете ознакомиться с перечнем выполняемых работ, а так же с их стоимостью на странице с ценами.
Аналитической моделью будем называть описание поверхности математическими формулами. В КГ можно использовать много разновидностей такого описания. Например, в виде функции двух аргументов z = f(x, у). Можно использовать уравнение F(x, у, z) = 0.
Наиболее часто используется параметрическая форма описания поверхности. Запишем формулы для трехмерной декартовой системы координат (x, у, z):
где s и t — параметры, которые изменяются в определенном диапазоне, а функции Fx, Fy,иFz определяют форму поверхности.
Преимущества параметрического описания — легко описывать поверхности, которые соответствуют неоднозначным функциям, замкнутые поверхности. Описание можно сделать таким образом, что формула не будет существенно изменяться при поворотах поверхности, масштабировании.
В качестве примера рассмотрим аналитическое описание поверхности шара. Сначала как функцию двух аргументов:
z = ± 
В виде уравнения: x2 + y2 + z2 - R2=0.
А также в параметрической форме:
x=Rsins cost,y=Rsins sint, z = R coss.
Для описания сложных поверхностей часто используют сплайны. Сплайн - это специальная функция, наиболее пригодная для аппроксимации отдельных фрагментов поверхности. Несколько сплайнов образуют модель сложной поверхности. Другими словами, сплайн — эта тоже поверхность, но такая, для которой можно достаточно просто вычислить координаты ее точек. Обычно используют кубические сплайны. Почему именно кубические? Так как третья степень является наименьшей, позволяющей описывать любую форму, и при стыковке сплайнов можно обеспечить непрерывную первую производную — такая поверхность будет без излома в местах стыка. Сплайны часто определяют параметрически. Запишем формулу для координаты x(s,t) кубического сплайна в виде многочлена третьей степени параметров s и t:
Для других координат можно записать подобные формулы — в виде функций y(s, t), z(s,t).
В математической литературе вы можете ознакомиться со способами определения коэффициентов aij для сплайнов, которые имеют заданные свойства.
Рассмотрим одну из разновидностей сплайнов — сплайн Безье. Приведем его сначала в обобщенной форме — степени тхп:
P(s,t) = 
где Рij — опорные точки-ориентиры, 0≤s≤1, 0≤t≤1, 
и 
–коэффициенты бинома Ньютона, они рассчитываются по формуле:
Кубический сплайн Безье соответствует т = 3, п = 3. Для его определения необходимы 16 точек-ориентиров Рij (рис. 6.1); коэффициенты и равняются 1,3, 3, 1 при i,j = 0,1,2,3.
Характеризуя аналитическую модель в целом, можно сказать, что эта модель наиболее пригодна для многих операций анализа поверхностей. С позиций КГ можно указать такие положительные черты: простота (впрочем, не всегда) расчета координат каждой точки поверхности, нормали; небольшой объем информации для описания довольно сложных форм.
К недостаткам можно отнести: сложность формул описания с использованием функций, которые медленно вычисляются в компьютере, снижают скорость выполнения операций отображения; невозможность в большинстве случаев использования данной формы описания непосредственно для построения изображения поверхности. В таких случаях поверхность обычно отображают как многогранник, используя формулы аналитического описания для расчета координат вершин граней в процессе отображения, что уменьшает скорость сравнительно с полигональной моделью описания.
|
Рис. 6.1. Кубические сплайны Безье
Услуги
НАШ СЕРВИС
