Слишком сложно? Тогда запросите консультацию специалиста!
Наша компания занимается тем, что помогает студентам выполнять различные учебные работы на заказ. Вы можете ознакомиться с перечнем выполняемых работ, а так же с их стоимостью на странице с ценами.
.
.
Пусть
Или
Или
Теорема: Процесс итерации для приведенной линейной системы (18) сходится к единственному ее решению, если какая-нибудь каноническая норма матрицы a меньше единицы, т.е. для итерационного процесса (19) достаточное условие есть
Приведем достаточное условие сходимости метода итераций.
А любое (k + 1) приближение вычисляется по формуле
Систему (18) можно записать в матричной форме
Введя матрицы
При i не равно j
Где
и a ij = 0 при i = j (i, j = 1, 2, …, n).
и 
,
x = b + a x,
| x (k+1) = b + a x (k). |
Напишем формулы приближений в развернутом виде:
|
|
Следствие 1. Процесс итерации для системы (18) сходится, если:
1) 
< 1 (m-норма или неопределенная норма)
2) 
< 1 (l-норма или норма L1)
3) 
< 1 (k-норма или Евклидова норма).
Следствие 2. Для системы (13) процесс итерации сходится, если выполнены неравенства:
1. 
или
2. 
,
|
где штрих у знака суммы означает, что при суммировании пропускаются значения i = j, т. е. сходимость имеет место, если модули диагональных элементов матрицы А системы (13) или для каждой строки превышают сумму модулей недиагональных элементов этой строки, или же для каждого столбца превышают сумму модулей недиагональных элементов этого столбца.
Имеем:
max(1+ 2 + 3, 4 + 5 + 6, 7 + 8 + 9) = max (6, 15, 24) = 24;
max(1+ 4 + 7, 2 + 5 + 8, 3 + 6 + 9) = max (12, 15, 18) = 18;
В современных прикладных инженерных программных продуктах,
Например в Mathcad существуют специальные функции для вычисления норм матриц:
normi(A)
norm1(A)
