Слишком сложно? Тогда запросите консультацию специалиста!
Наша компания занимается тем, что помогает студентам выполнять различные учебные работы на заказ. Вы можете ознакомиться с перечнем выполняемых работ, а так же с их стоимостью на странице с ценами.
Интеграл от аналитической функции обладает замечательным свойством, сформулированным в теореме Коши.
Теорема Коши. Если 
– однозначная аналитическая функция в односвязной области 
, то интеграл от этой функции по любому замкнутому контуру 
равен нулю:
(1)
Другими словами, интеграл от однозначной аналитической функции в односвязной области не зависит от пути интегрирования.
Пример 1. Интеграл 
по любой замкнутой кривой 
, так как функция 
является аналитической на всей комплексной плоскости. ?
Задача 1. Дана функция 
. Можно ли применить теорему Коши к интегралу 
, если а) 
б) 
в) 
. Ответ аргументируйте. Ответ: 1) можно; 2) нельзя; 3) нельзя.
В качестве положительного направления обхода замкнутого контура принимается направление, при котором область, ограниченная этим контуром, остается слева.
Так, если контур 
представляет собой окружность 
, то 
(против часовой стрелки) есть граница круга 
, а 
(по часовой стрелке) есть граница внешности круга, то есть области 
.
В случае многосвязной области (рис.1) ее полная граница состоит из внешнего контура 
и внутренних контуров 
. При положительном направлении обхода полной границы область все время остается слева, т. е. внешний контур обходится против часовой стрелки, а каждый внутренний – по часовой стрелке.
Рис.1
Пусть – аналитическая функция в многосвязной области с полной границей 
и непрерывна в замкнутой области 
. Тогда интеграл от функции по полной границе области равен нулю (обход границы совершается в положительном направлении):
(2)
Формулу (2) можно переписать в виде:
(3)
Значит, интеграл от функции по внешнему контуру равен сумме интегралов по внутренним контурам 
(каждый из контуров обходится против часовой стрелки).
В частности, пусть функция является аналитической на контурах , 
и в двухсвязной области , ограниченной этими Рис.2
контурами (рис.2). Тогда из (3) получаем
. (4)
В этом случае интеграл независимо от формы кривой интегрирования сохраняет постоянное значение.
Пример 2. Показать, что если произвольный замкнутый контур, не проходящий через точку 
, и 
– целое число, то
Решение. При 
подынтегральная функция 
является аналитической и интеграл равен нулю в силу теоремы Коши (независимо от взаимного расположения точки и контура ).
При 
подынтегральная функция имеет вид 
, где 
Пусть точка находится вне контура , тогда функция является аналитической внутри этого контура. И в этом случае справедлива теорема Коши – интеграл равен нулю.
Осталось рассмотреть интеграл 
, когда точка находится внутри контура , то есть в точке нарушается аналитичность подынтегральной функции. Выбросим из области круг 
, граница 
которого лежит внутри контура . Функция аналитична и на контуре , и на окружности , а также в двухсвязной области, ограниченной этими контурами. Значит, интеграл в силу формулы (1) сохраняет постоянное значение, которое можно найти, принимая за контур интегрирования окружность 
: 
.
В примере 3 предыдущего параграфа было показано, что такой интеграл не зависит ни от радиуса 
окружности, ни от точки , интеграл равен нулю при 
и равен 
при 
. Все возможные случаи исчерпаны. ?
Аналитичность функции налагает на нее такие жесткие условия, что информации о поведении функции на некоторой замкнутой кривой в области аналитичности достаточно, чтобы определить значение функции в любой внутренней точке области – этот факт отражен в интегральной формуле Коши.
(5)
позволяет вычислить значение функции в любой точке области ее аналитичности , если известны значения 
этой функции на контуре , целиком лежащем в и содержащем внутри себя точку .
Интеграл, стоящий справа в формуле Коши, называется интегралом Коши.
В подынтегральном выражении 
первый множитель – это плотность интеграла Коши (значение на контуре функции , аналитической всюду в 
, во всяком случае, непрерывной на контуре ). Второй множитель 
– это ядро интеграла Коши (значение на контуре функции 
, которая теряет аналитичность в точке 
, если 
и является аналитической всюду в , если точка находится вне контура ).
Значит, интеграл Коши равен
(6)
Заметим, что в задачах обычно не подчеркивается разница между переменной интегрирования 
и точкой 
.
Пример 3. Вычислить интеграл 
, где контур 
.
Решение. Подынтегральная функция 
имеет две особые точки: 
и 
. Первая из них лежит внутри заданного контура интегрирования, а вторая – вне его.
Представим интеграл в виде:
.
Здесь в подынтегральной функции 
множитель 
представля-
ет собой аналитическую внутри контура и на нем функцию – это плотность интеграла Коши. Множитель 
– ядро интеграла Коши (аналитичность нарушается во внутренней точке ). Согласно формуле (6)
. ?
Задача 2. Вычислить интеграл 
, если а) точка 
лежит внутри контура , а точка 
вне его; б) точка лежит внутри контура , а точка 
вне его; в) обе особые точки лежат вне контура . Ответ: а) 
б) 
в) 0.
Пример 4. Вычислить интеграл 
, если контур 
.
Решение. Подынтегральная функция 
имеет две особые точки 
и 
, причем обе они лежат внутри заданного контура . Непосредственно формулу (6) применить нельзя.
1 способ. Представим дробь в виде суммы элементарных дробей и воспользуемся линейным свойством интеграла:
Плотность каждого из полученных интегралов Коши 
, ядро первого интеграла 
, 
; второго – 
, 
. Значит, 
.
Тогда
.
2 способ. Проведем произвольно линию между точками 
и 
, разделяющую область на части 
и 
(рис.3) так, что 
, 
. При этом контур разбивается на части 
и 
. Область с границей 
содержит внутри единственную особую точку , значит,
.
Область с границей 
содержит единственную особую точку 
, значит,
.
Складываем оба результата. С учетом аддитивности интеграла получаем
.
Но интегралы по 
и по 
взаимно уничтожаются, поэтому
.?
Задача 3. Вычислить интеграл , если обе особые точки и лежат внутри контура . Ответ: 0.
Если контур представляет собой окружность радиуса 
с центром в точке , ( 
), то замена 
позволяет получить из формулы Коши теорему о среднем:
.
То есть значение аналитической функции в центре круга равно среднему арифметическому из ее значений на окружности этого круга.
Из аналитичности функции в точке 
, то есть из существования ее первой производной в некоторой окрестности этой точки, и интегральной формулы Коши следует существование в окрестности той же точки производных любого порядка данной функции, причем
(7)
Пример 5. Вычислить интеграл 
, если – замкнутый контур, обходящий точку 
.
Решение. Положим в формуле (3) 
, тогда
.
Сопоставляя с заданным интегралом, видим, что 
и 
, т.е.
?.
Задача 4. Вычислить интеграл 
, если – замкнутый контур, содержащий внутри точку 
(воспользоваться формулой (7)). Сравнить результат с примером 2. Ответ: 
