Слишком сложно? Тогда запросите консультацию специалиста!
Наша компания занимается тем, что помогает студентам выполнять различные учебные работы на заказ. Вы можете ознакомиться с перечнем выполняемых работ, а так же с их стоимостью на странице с ценами.
Определение .Векторной линией векторного поля 
называется линия, в каждой точке которой вектор поля направлен по касательной к ней. (см. рис. 14.1)
| Рисунок 14.1 |
В физике это понятие для конкретных полей имеет физический смысл, например, векторные линии поля тяготения, электрического и магнитного полей - это силовые линии, а поля скоростей – линии тока, т.е. линии, по которым движутся частицы поля.
Пусть векторная линия, проходящая через точку 
, имеет уравнение 
, где t – параметр. Из условия коллинеарности вектора касательной 
и вектора поля 
в произвольной точке векторной линии следует дифференциальное уравнение этой линии: 
, (14.1)
где λ – некоторое число.
Уравнение (14.1) - дифференциальное уравнение векторных линий в векторной форме.
В пространстве 
в декартовой системе координат для векторов
и 
векторное уравнение (14.1) эквивалентно системе дифференциальных уравнений:
, (14.2)
Система (3) – это симметричная форма системы дифференциальных уравнений. Для её решения применяются интегрируемые комбинации, с привлечением свойств равных дробей. Для плоского поля система превращается в одно уравнение:
. (14.3)
Определение.Поверхность, состоящая из векторных линий, проведённых через каждую точку некоторой замкнутой линии l, называется векторной трубкой.
Пример 14.1. Найдём векторныелинии векторного поля 
и построим их.
Решение. Поле, у которого 
, определено на всей плоскости XOY, следовательно, через каждую точку плоскости проходит хотя бы одна векторная линия. Составим дифференциальное уравнение векторных линий: 
( см. (14.3)). Это уравнение с разделяющимися переменными. Решим его: 
, или 
- уравнения векторных линий. При С=0 это точка О(0,0), при С>0 – концентрические окружности.
Для определения направления движения по векторной линии материальной точки, попавшей в векторное поле, рассмотрим проекцию вектора на ось OX. Это 
. Там, где 
, составляет с осью OX острый угол, где 
- тупой. Учитывая, что вектор поля направлен по касательной к векторной линии, и векторные линии непрерывны, достаточно выяснить,
что в первой четверти движение поля происходит по часовой стрелке (см. рис. 14.2).
Ответ: 
- уравнения векторных линий.
| Рисунок 14.2 |
