Слишком сложно? Тогда запросите консультацию специалиста!
Наша компания занимается тем, что помогает студентам выполнять различные учебные работы на заказ. Вы можете ознакомиться с перечнем выполняемых работ, а так же с их стоимостью на странице с ценами.
Основные понятия и определения
Электрические цепи, в которых ток и напряжение непрерывно изменяются при переходе от одной точке цепи к другой, называются цепями с распределенными параметрами.
До сих пор мы рассматривали электрические цепи с сосредоточенными параметрами, т. е. полагалось, что емкости сосредоточены в конденсаторах, индуктивности – в катушках, активные сопротивления также локализованы в виде отдельных элементов – резисторов. При таком представлении электрической цепи считают, что ток, входящий в любой элемент, равен току, выходящему из того же элемента; что во всех точках любой ветви цепи ток имеет одну и ту же величину и фазу; что падение напряжения вдоль любого соединительного проводника равно нулю. Электрическое и магнитное поля считают сосредоточенными в конденсаторах и катушках соответственно, причем не учитываются ЭДС самоиндукции, возникающие во всей системе под влиянием переменного магнитного поля, пересекающего соединительные провода; токи смещения между отдельными проводниками и между витками катушек; токи проводимости (утечки) между проводниками цепи и обкладками конденсаторов, обусловленные несовершенством разделяющих их диэлектриков. Однако замена электротехнического устройства цепью с сосредоточенными параметрами неправомерна в ряде случаев: а) при расчете длинной линии электропередачи или связи; б) в случае работы устройства на разных частотах.
Все дальнейшие расчеты и выводы будем проводить на примере длинной линии электропередачи. Участок такой линии может быть представлен эквивалентной цепочечной схемой, представленной на рисунке 28.1.
На схеме (рис. 28.1,а) сопротивления Z1,Z2,Z3 называют продольными, с сопротивления Z4 – Z7 – поперечными.
Участок линии dx является бесконечно малым элементом длины линии.
В результате утечки тока через сопротивление Z4 ток i1 не равен току i, а напряжение на участке ab не равно напряжению на участке cd и т.д.
В двухпроводной линии (рис. 28.1,б) продольные сопротивления образованы активными сопротивлениями проводов и индуктивностью участка линии. Поперечные сопротивления состоят из сопротивлений (или проводимостей), учитывающих утечку тока через изоляцию и емкостью между проводами линии.
Для достаточно длинной линии можно считать, что эти параметры распределены вдоль линии равномерно. Такую линию считают однородной.
Параметры линии на единицу длины обозначают R0, L0, G0 и C0.
Дифференциальные уравнения длинной линии
В цепях с сосредоточенными параметрами напряжение и ток в элементах связаны соотношениями:
; 
Решение этих уравнений дает закон изменения тока и напряжения от времени, но не от координаты длины линии. Если выделить какой-то участок цепи с распределенными параметрами, то токи и напряжения на концах этого участка не будут равны токам и напряжениям в его начале. Только при бесконечном уменьшении длины участка эти величины равны.
Следовательно, приведенные выше выражения непосредственно не применимы ко всей линии в целом. Они могут быть применены только к бесконечно малым по длине участкам.
Напряжения и токи в линии являются функциями двух независимых переменных: пространственной координаты х (вдоль линии) и времени t. Отсюда вытекает задача определения тока и напряжения как функций двух переменных: u = f(x,t); i=f(x,t).
На рисунке 28.2 изображена схема короткого отрезка Δх двухпроводной линии.
Рассмотрим две точки с координатами х и х+Δх. Обозначим соответствующие этим точкам напряжения и токи для любого фиксированного момента времени через u = u(x), u(x+Δx), i = i(x) и i(x+Δx). Напряжение u(x+Δx) отличается от напряжения u(x), так как на участке Δх происходит падение напряжения на индуктивности L0Δх и сопротивлении R0Δx. Поэтому можно записать
.
Это и последующие уравнения записаны в частных производных, так как ток и напряжение являются функциями двух переменных t и x.
Соответственно изменение тока на участке Δх происходит за счет ответвления тока через емкость C0Δx и проводимость изоляции G0Δx между проводами:
Эти два равенства переписываются следующим образом:
,
Переходя к пределу при 
, получаем в соответствии с определением производной:
| (28.1) |
| (28.2) |
Знаки в левых частях выражений (28.1) и (28.2) обусловлены выбором положительных направлений.
Уравнения (28.1), (28.2) являются основными дифференциальными уравнениями для линии с распределенными параметрами. Они могут быть решены однозначно при использовании начальных и граничных условий.
В качестве начальных условий могут использоваться значения тока и напряжения в начале (или конце) линии в момент t = 0.
Граничные условия определяются связями между напряжением и током в начале или конце линии, зависящими от заданного режима работы линии.
