Слишком сложно? Тогда запросите консультацию специалиста!
Наша компания занимается тем, что помогает студентам выполнять различные учебные работы на заказ. Вы можете ознакомиться с перечнем выполняемых работ, а так же с их стоимостью на странице с ценами.
Определение 1.Базисом линейного пространства L называется система элементов принадлежащих L, удовлетворяющая двум условиям:
1) система 
линейно независима.
2) Любой элемент L линейно выражается через базисные (т.е. является линейной комбинацией элементов 
): 
Примеры. Базис на плоскости (V2 – 2 неколлинеарных вектора), в пространстве (V3 – 3 некомпланарных вектора), в пространстве Rn (канонический базис), в пространстве многочленов степени ≤ n - (1,х,х2,…,хn).
Теорема 1.Коэффициенты разложения по базису – единственны.
{Пусть 
}
Определение 2.Координатами элемента линейного пространства в некотором базисе называются коэффициенты разложения по этому базису.
(В силу т.1 это определение – корректно)
Будем писать: 
.
В дальнейшем, по умолчанию, будем считать вектор вектором – столбцом, в противном случае будем писать строку координат в явном виде: 
либо как 
Теорема 2.При сложении векторов их координаты складываются: 
{
}
Теорема 3.При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число:
λа = (λα1,…,λαn). {
}
Определение 3.Размерностью линейного пространства L (обозначается dimL) называется максимальное число линейно независимых элементов этого пространства.
Если такого числа не существует – пространство называется бесконечномерным.
Теорема 4.Размерность линейного пространства равна числу базисных векторов.
{Пусть 
базис пространства L 
Рассмотрим (n + 1) произвольных элементов 
Разложим каждый из них по базису {e} и запишем столбцы полученных коэффициентов разложения в виде матрицы An,n+1. Т.к. rangAn,n+1 ≤ n, то, хотя бы один из столбцов будет линейной комбинацией остальных 
элементы aţ – линейно зависимы
dimL = n}
Отсюда, в частности, следует, что все базисы одного пространства состоят из одинакового числа векторов.
Примеры. V2, V3, Rn.
