Услуги
НАШ СЕРВИС
Слишком сложно? Тогда запросите консультацию специалиста!
Наша компания занимается тем, что помогает студентам выполнять различные учебные работы на заказ. Вы можете ознакомиться с перечнем выполняемых работ, а так же с их стоимостью на странице с ценами.
Пусть на отрезке [a, b] требуется найти решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка
y¢ = g(x, y), (5.2.1)
y(x0) = y0, (5.2.2)
где y0 – заданное число.
Зададим на отрезке [a, b] равномерную сетку
hx = {xi / xi = xi – 1 + h, h > 0, i = 1, 2, 3, …, m; x0 = a, xm = b}, (5.2.3)
где xi, i = 0, 1, 2, …, m – узлы одномерной сетки hx; h – шаг сетки.
Приближенное решение jh(x) задачи (5.2.1) - (5.2.2) будем строить по правилу
(5.2.4)
Организация вычислений при реализации метода Эйлера предельно проста. Промежуточные результаты удобно размещать в таблице, аналогичной табл. 5.2.1.
Таблица 5.2.1
| k | xk | jh(xk) = jh(xk – 1) + hg(xk – 1, jh(xk – 1)) | g(xk, jh(xk)) |
| x0 | jh(x0) (берется из начальных условий) | g(x0, jh(x0)) | |
| x1 | jh(x1) = jh(x0) + hg(x0,jh(x0)) | g(x1, jh(x1)) | |
| x2 | jh(x2) = jh(x1) + hg(x1, jh(x1)) | g(x2, jh(x2)) | |
| … | … | ||
| m – 1 | xm – 1 | jh(xm – 1) = jh(xm – 2) + hg(xm – 2, jh(xm – 2)) | g(xm – 1, jh(xm –- 1)) |
| m | xm | jh(xm) = jh(xm – 1) + hg(xm – 1, jh(xm – 1)) |
В заключение сделаем несколько замечаний относительно метода Эйлера (5.2.4).
1. Рассмотренный метод является явным одношаговым разностным. Это один из наиболее простых численных методов решения задачи Коши.
2. Сходится на отрезке [a, b] в соответствии с определением и имеет первый порядок точности.
3. Ввиду невысокой точности редко используется для решения реальных задач. Существуют модификации метода, позволяющие повысить точность получаемых результатов.
4. Легко адаптируется к решению задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.
Рассмотрим систему из двух уравнений
с начальными условиями
Как и ранее, будем искать решение поставленной задачи Коши на отрезке [a, b], задав на нем равномерную сетку hx с шагом h.
Пусть функции jh y(x) » y(x) и jh z(x) » z(x) обозначают приближенное решение задачи, тогда метод Эйлера запишется в виде
Услуги
НАШ СЕРВИС
