Слишком сложно? Тогда запросите консультацию специалиста!
Наша компания занимается тем, что помогает студентам выполнять различные учебные работы на заказ. Вы можете ознакомиться с перечнем выполняемых работ, а так же с их стоимостью на странице с ценами.
Первый корень уравнения (4.9) вычисляем по соотношению (4.23) при 
и 
, а второй — по (4.24). Тогда отношение собственных чисел или коэффициентов термической массивности
, (4.28)
где 
.
Разность квадратов корней 
.
Первая амплитуда, входящая в уравнение (4.6) температуры поверхности
. (4.29)
По аналогии вторая 
и
. (4.30)
Амплитуда 
согласно уравнению (4.27) и с учетом того, что при малых аргументах 
:
. (4.31)
Амплитуда 
.
Для среднемассовой температуры:
и 
. (4.32)
Для перепада температур по уравнению (4.11)
(4.33)
.
Для термических напряжений в центре пластины по (4.4)
(4.34)
Для термонапряжений на поверхности
(4.35)
С целью проверки амплитуды 
можно использовать равенство 
.
Выражения для расчета максимальных времен по уравнению (4.18) также упростятся.
Коэффициент поверхности 
,
для перепада температур 
(4.36)
и центра
.
Анализ уравнений (4.18) и (4.36) позволяет сделать вывод о том, что максимум величин наступает в последовательности 
и с ростом числа Био эти времена уменьшаются.
Для оценки различия максимальных времен составим их разности:
(4.37)
и 
Из (4.37) следует, что с ростом числа Био различия максимальных времен увеличиваются, вплоть до 
– см. уравнение (4.45).
На практике технологов интересует вопрос — насколько термические напряжения на поверхности тела больше, чем в его середине. Обозначим их отношение 
. Наиболее просто 
можно найти в стадии регулярного режима нагрева (РРН), который наступает при числах Фурье 
и когда вместо бесконечных сумм в уравнениях (4.3)…(4.11) можно ограничиться одним членом ряда. Тогда, деля уравнение (4.3) на (4.4) и учитывая упрощенные соотношения (4.34) и (4.35), получим
(4.38)
4.1.2. Асимптотика при больших числах Био.
Теперь корни 
находим по уравнению (4.25). Тогда отношение
. (4.39)
Разность квадратов корней
, (4.40)
где 
; 
.
Амплитуды:
; 
,
где 
; 
.
; 
,
где 
и 
— амплитуды при 
.
;
где 
; 
.
; 
;
; 
.
; 
; 
; 
.
; 
; 
; 
.
Теперь коэффициенты для расчета максимальных времен примут вид:
; (4.41)
; (4.42)
; (4.43)
В предельном случае при :
;
;
. (4.44)
Так как 
лишено физического смысла, следует взять 
.
Тогда наименьшие максимальные времена согласно (4.18) при 
будут:
, 
,
. (4.45)
Подставляя (4.45) в уравнение (4.4), получим максимально возможное термическое напряжение в центре пластины
. (4.46)
Термонапряжение на поверхности при времени 
перепад температур
и отношение напряжений в этот момент времени
.
Последнее несколько больше, чем отношение 
, которое получено для стадии РРН с учетом первого члена ряда.
Следует отметить, что если приближенно считать 
, то из уравнения (4.10) будем иметь
(4.47)
и это соотношение полностью совпадает с формулой Н.Ю. Тайца [28]
. (4.48)
Из анализа уравнения (4.41) вытекает, что коэффициент 
меняет знак по причине изменения знака амплитуды 
, изменяющейся от 
при малых числах Био до 
. Из условия равенства нулю 
можно получить граничное число 
выше которого имеем случаи нагрева термически «массивного» тела. Таким образом, при числах 
для определения времени 
можно применять формулу (4.12) в которой определяется по уравнению (4.41), а при 
коэффициент становится отрицательным и нельзя пользоваться формулой (4.12).
Возникшую ситуацию можно объяснить следующим образом. Формулы (4.12)…(4.22) получены с учетом всего двух членов ряда. С ростом числа Био максимальное время уменьшается, вплоть до 0 при .
При очень малых числах Фурье 
расчёт температур по уравнениям (4.3)…(4.11) затруднителен из-за необходимости учета большого количества членов ряда, ввиду его плохой сходимости. В этом случае для расчёта поверхностной и среднемассовой температур можно использовать формулы, полученные методом операционного исчисления в работе [10] (см. уравнения (3.25)…(3.27))
С учетом сказанного уравнение (4.3) для расчета термических напряжений на поверхности примет вид
(4.49)
где .
Вместо уравнения (4.6) будет (3.25), а вместо (4.8) — (3.26). Температуру в центре тела на начальной стадии нагрева (
) приближенно можно принять 
.
Дифференцируя уравнение (4.49) по времени и приравнивая производную нулю, получим при малых (
)
,
(4.50)
и больших аргументах ()
, 
. (4.51)
Таким образом, при больших числах Био () расчет времени вместо (4.12) следует производить по уравнению (4.50) или (4.51).
Расчет 
по (4.13) с учетом (4.42) даст
. (4.52)
Иногда требуется определить расположение координаты 
нейтрального слоя в котором термические напряжения меняют знак с 
на 
, т.е. в этой точке равны нулю. Наиболее просто это можно сделать в стадии РРН. Тогда согласно уравнению (4.2) 
или 
.
Разрешая последнее выражение относительно 
, получим
, (4.53)
где 
.
При малых числах Био 
. Тогда с учетом тригонометрического тождества 
и разложения в ряд 
, будем иметь
. (4.54)
При больших числах Био
и 
. (4.55)
В предельном случае при , 
. Таким образом, поскольку 
нейтральные слои расположены несколько ближе к поверхности, а само колеблется в узких пределах — от 0,56 до 0,58.
Следует отметить, что при нагреве абсолютные, т.е. размерные термические напряжения 
поменяют знаки за счет отрицательности 
из-за 
.
В заключение укажем, что все полученные решения описывают как процесс конвективного нагрева плоских тел, так и их охлаждение.
