Слишком сложно? Тогда запросите консультацию специалиста!
Наша компания занимается тем, что помогает студентам выполнять различные учебные работы на заказ. Вы можете ознакомиться с перечнем выполняемых работ, а так же с их стоимостью на странице с ценами.
Обратное преобразование линейного кода
, (1.1)
где 
получают передаваемое сообщение I 1 xk .
Можно облегчить процесс декодирования и сделать С более наглядным.
При изучении свойств кодов, исправляющих ошибки, надо иметь в виду, что для любого канала с независимыми ошибками два кода, отличающиеся только расположением символов, имеют одну и ту же вероятность ошибки. Вообще между двумя такими кодами имеется очень тесная связь, и поэтому они называются эквивалентными. В результате любой элементарной операции[1] над строками матрицы получается матрица с тем же самым пространством строк, и поэтому измененная матрица является порождающей матрицей для того же самого кода.
Если одна матрица может быть получена из другой путем комбинации элементарных операций над строками и перестановок столбцов, то эти две матрицы называются комбинаторно-эквивалентными.
Любая порождающая матрица G комбинаторно-эквивалентна некоторой матрице G’, имеющей ступенчатую каноническую форму:
1. Первый ненулевой элемент каждой строки равен «1»;
2. Каждый столбец, содержащий первый ненулевой элемент некоторой строки, в качестве всех остальных элементов содержит нули;
3. первый ненулевой элемент каждой строки стоит правее первого ненулевого столбца каждой предыдущей строки.
4. Все нулевые строки расположены ниже всех ненулевых строк.
Пример: левый край матрицы приведенного ступенчатого вида по строкам не обязательно имеет вид единичной матрицы, поскольку константы в третьем столбце не являются ведущими элементами своих строк
Перестановкой столбцов можно образовать приведено-ступенчатую матрицу: сгруппировать слева k столбцов, содержащих единицы в качестве первых ненулевых элементов каждой строки, так чтобы они образовали единичную матрицу размерности k x k, в результате чего получится комбинаторно-эквивалентная матрица G" вида
Таким образом, для каждой порождающей матрицы G существует комбинаторно-эквивалентная ей матрица G", имеющая приведенно-ступенчатую форму, и каждый код эквивалентен пространству строк некоторой матрицы, имеющей приведенно-ступенчатую форму.
Следует обратить внимание, что матрица G” порождает другой код, но эквивалентный исходному по помехоустойчивости.
Тогда пусть I1 xk = (I1,I2,..., Ik) – произвольный набор длины k. Рассмотрим вектор С:
где
Таким образом, первые k компонент кодового вектора могут быть произвольно выбранными информационными символами, а каждая из последних n — k компонент является линейной комбинацией первых k компонент.
Благодаря этому код становится систематическим (линейным разделимым) кодом, кодирование сильно упрощается, а раскодирование вообще не требует алгебраических операций.
Справка: в разделимых кодах всегда можно выделить информационные символы, содержащие передаваемую информацию, и контрольные (проверочные) символы, которые являются избыточными и служат исключительно для коррекции ошибок. Неразделимые коды не имеют четкого разделения кодовой комбинации на информационные и проверочные символы.
Разделимые блочные коды, в свою очередь, делятся на несистематические и систематические. Наиболее многочисленный класс разделимых кодов составляют систематические коды. Основная их особенность в том, что проверочные символы образуются как линейные комбинации информационных символов.
Существует теорема: Каждый линейный код эквивалентен систематическому коду.
Существует простой способ нахождения проверочной матрицы кода, если задана порождающая матрица кода в приведенно-ступенчатой форме.
Теорема. (О проверочной матрице). Если V’— пространство строк матрицы G” = [EkP], где Ek— единичная матрица размерности k x k, a Р— матрица размерности k x (n — k), то V’ является нулевым пространством матрицы Н” = [ – РТ En-k], где En-k — единичная матрица размерности (n - k) x (n - k).
Здесь уместно отметить, что «– P» это матрица, такая, что P + (–P) = 0. Для двоичного исчисления «–P» = P.
Пример. Порождающая матрица задана в приведенно-ступенчатой форме.
Если положить
тоGHT=HGT = 0,и пространство строк каждой матрицы является нулевым пространством для другой матрицы.
