Слишком сложно? Тогда запросите консультацию специалиста!
Наша компания занимается тем, что помогает студентам выполнять различные учебные работы на заказ. Вы можете ознакомиться с перечнем выполняемых работ, а так же с их стоимостью на странице с ценами.
Комплексним числом 
називається впорядкована пара дійсних чисел 
. Число 
називається дійсною частиною комплексного числа та позначається 
, 
називається уявною частиною та позначається 
. Операції додавання та множення комплексних чисел виконуються за такими правилами:
;
.
Будемо вважати, що дійсні числа є частинним випадком комплексних чисел. Якщо ототожнити дійсне число з комплексним числом 
та назвати пару 
числом 
– уявною одиницею, то число 
можна записати у вигляді
.
Така форма запису комплексного числа називається алгебраїчною, а дії додавання та множення з числами в алгебраїчній формі зводяться до стандартних перетворень з урахуванням рівності 
.
Число 
називається числом, спряженим до числа . Добуток спряжених комплексних чисел є дійсним числом :
.
Ділення комплексних чисел виконується шляхом домноження числівника та знаменника дробу на число, спряжене до знаменника:
.
Геометричним образом комплексного числа є точка на координатній площині з відповідними декартовими координатами. Полярні координати цієї точки також є важливими характеристиками комплексного числа. Відповідний полярний радіус називається модулем комплексного числа, а полярний кут – його аргументом:
, 
.
Дійсна та уявна частини комплексного числа зв’язані з його модулем та аргументом співвідношеннями 
, 
.
Як відомо, кожній точці координатної площини відповідає безліч значень полярного куту, які відрізняються одне від одного на 
, де 
– ціле число.
Для однозначного визначення аргументу комплексного числа будемо обирати його з певного проміжку довжиною 
. Таке значення аргументу називається його головним значенням та позначається 
. Будемо вважати, що належить проміжку 
(досить часто також використовують проміжок 
).Тоді модуль та головне значення аргументу комплексного числа доцільно обчислювати за формулами
;
або 
.
З урахуванням наведених вище співвідношень комплексне число можна представити у вигляді
.
Така форма запису комплексного числа називається тригонометричною, а множення, ділення та піднесення до натурального степеня виконуються за формулами
;
;
.
З урахуванням формули Ейлера 
комплексне число може бути записано у показниковій формі
.
Якщо комплексні числа записані у показниковій формі, то дії множення, ділення та піднесення до натурального степеня виконуються за правилами
;
;
.
Коренем -го степеня з комплексного числа називається таке число, -ий степінь якого дорівнює . Обчислення кореня виконується за формулою
,
,
тобто корінь -го степеня має значень.
