Слишком сложно? Тогда запросите консультацию специалиста!
Наша компания занимается тем, что помогает студентам выполнять различные учебные работы на заказ. Вы можете ознакомиться с перечнем выполняемых работ, а так же с их стоимостью на странице с ценами.
Изучаемые вопросы: Теорема Коши о вычетах; Вычисление вычетов; Вычет в бесконечно удалённой точке; Приложение вычетов к вычислению интегралов.
2.6.1. Теорема Коши о вычетах
Пусть 
– изолированная особая точка функции 
. В окрестности этой точки может быть представлена рядом Лорана
. (1)
Коэффициент 
в разложении (1) называется вычетом функции в изолированной особой точке . Он обозначается как
. (2)
Теорема Коши. Если регулярна в области 
всюду, за исключением внутренних точек 
, то интеграл от функции , взятый по контуру области 
в положительном направлении, равен произведению 
на сумму вычетов в точках :
. (3)
○ Исключим точки , окружив их достаточно малыми окрестностями с границами 
(см. рисунок).
В оставшейся области 
(она закрашена серым) удовлетворяет всем условиям интегральной теоремы Коши, следовательно,
(4)
(здесь у контуров 
поставлен минус, т.к. обход окружностей осуществляется в отрицательном направлении – область остаётся справа).
Но в окрестности 
ряд Лорана для :
, (5)
и, интегрируя почленно, получаем:
.
В этом интеграле все члены, кроме содержащего , равны нулю (см. п.2.4.4), а
. (6)
Изменив в (4) направление обхода, с учётом (6.) получим (3). ●
2.6.2. Вычисление вычетов
1. Рассмотрим вычисление вычета в полюсе первого порядка (простой полюс). Пусть в окрестности 
имеет место разложение
. (7)
Умножим обе части этого равенства на 
:
. (8)
Устремим 
, тогда переходя к пределу, получаем
. (9)
Выражению (9) можно придать другой вид, если представить 
, где 
– регулярные в функции, причём 
, а 
имеет простой корень. Тогда 
и, по правилу Лопиталя
. (10)
2. Пусть теперь – полюс порядка 
, т.е. ряд Лорана функции :
. (11)
. Умножим обе части этого равенства на и продифференцируем по 
раз:
и устремим 
, (12)
откуда, по аналогии с предыдущим пунктом,
. (13)
Пример 1. □ Найти вычеты 
в изолированных особых точках.
□ Полюсы функции расположены в точках, в которых знаменатель дроби обращается в нуль, т.е. их можно найти, решив уравнения 
и 
. Корни второго уравнения: 
– простые полюсы, а корень первого уравнения 
– полюс второго порядка (он равен степени разности 
). По формуле (6.9 из Учебного пособия) находим:
Аналогично, найдём, что 
. В полюсе второго порядка по (13)
. ■
2.6.3. Вычет в бесконечно удалённой точке
Пусть в окрестности бесконечно удалённой точки 
функция представима рядом Лорана
. (14) 
Вычетом в бесконечно удалённой точке называется взятый с противоположным знаком коэффициент при минус первой степени в разложении (14):
. (15)
Пример 2. Найти вычет в бесконечности функции 
.
□ Разложение 
в степенной ряд 
справедливо при любом . Тогда 
. ■
Теорема. Если имеет конечное число особых точек, то сумма вычетов её, включая вычет в бесконечно удалённой точке, равна нулю, т.е.
. (16)
2.6.4. Приложение вычетов к вычислению интегралов
Если регулярна в односвязной области , то по теореме Коши интеграл от неё по любому замкнутому контуру в равен нулю: 
.
Основная теорема о вычетах: если непрерывна на границе 
области , за исключением конечного числа особых точек , то
. (17)
Для вычисления этого интеграла необходимо:
1. Определить контур интегрирования и сделать его рисунок.
2. Найти особые точки подынтегральной функции, которые находятся внутри контура интегрирования, и вычислить вычеты в них, определив тип этих точек.
3. Используя основную теорему о вычетах, найти численное значение интеграла.
Пример 1. Найти несобственный интеграл 
( 
– вещественная переменная).
□ Рассмотрим интеграл от ФКП 
, где – комплексная переменная, 
– отрезок вещественной оси, – полуокружность радиуса 
. Вычислим 
с помощью вычетов.
Подынтегральная функция 
имеет полюсы второго порядка в точках 
. Пусть достаточно велико, так что 
попадает внутрь контура (см. рисунок). Тогда для полюса второго порядка, который изображен на рисунке
Следовательно, 
. С другой стороны, 
, а последний интеграл 
, и, значит, 
. ■
Вопросы для самопроверки по теме 2.6
1. Какой коэффициент ряда Лорана называется вычетом функции ?
2. Сформулируйте теорему Коши о вычетах.
3. Напишите формулы для вычисления вычетов в полюсе первого порядка, полюсе порядка и в БУТ.
4. Чему равна сумма вычетов функции , имеющей конечное число особых точек?
Все шесть тем этого раздела подробно описаны в Учебном пособии, которое Вам предстоит изучить. В результате Вы сможете решить задачи контрольной работы, варианты которой, в соответствии с вашим шифром, содержатся в разделе 4.
