Услуги
НАШ СЕРВИС
Слишком сложно? Тогда запросите консультацию специалиста!
Наша компания занимается тем, что помогает студентам выполнять различные учебные работы на заказ. Вы можете ознакомиться с перечнем выполняемых работ, а так же с их стоимостью на странице с ценами.
Пример 1.Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей
A = 
.
Решение. Напишем характеристическое уравнение данной матрицы А:
= 0.
Разложим определитель по элементам первой строки:
(5 - l) 
- 6 
+ 3 
= 0.
l3 - 4l2 - 4l + 16 = 0
l2 (l - 4) – 4 (l - 4) = 0.
(l - 4) (l2 – 4) = 0. Корни этого уравнения l1 = 4, l2 = 2, l3 = -2 являются собственными значениями линейного преобразования.
Для нахождения собственных векторов используем систему уравнений:
Эта система имеет множество ненулевых решений, так как ранг ее меньше 3. Полагая l = l1 = 4, получаем систему уравнений для нахождения первого собственного вектора 
(х1, x2, x3):
.
Ясно, что определитель основной матрицы этой системы равен нулю. Однако определитель 
= 2 ¹ 0, поэтому первое уравнение системы можно отбросить:
.
Последняя система решается так, как показано в примере 5 из темы 5:
Þ х1 : x2 : x3 = 
t:- 
t : t =
= 18 t : 4 t : 2 t = 9 t : -2 t : t.
Собственный вектор = t (9, -2, 1), t ¹ 0.
Полагая l = l2 = 2, получаем систему уравнений:
Þ 
Þ 
Þ
Þ х1 : x2 : x3 = 
t : - 
t : 
t =12 t : -6t :0 =
= 2 t : -t : 0. 
= t (2, -1, 0), t ¹ 0.
Полагая l = l3 = -2, получаем систему уравнений:
Þ 
Þ 
Þ
Þ х1: x2: x3 = 
t : - 
t : 
t = 0 : 2 t : -4t = 0: t:-2t
= t (0, 1, -2), t ¹ 0.
Собственные векторы линейно независимы, то есть их можно принять за базис.
Пример 2. Найти характеристические числа и собственные векторы матрицы
А = 
.
Решение. Запишем характеристическое уравнение матрицы А:
= 0.
Разложим определитель по первой строке:
-l 
- 2 
+ 
= 0
-l (l2 + 9) – 2 (2l + 3) + 6 - l = 0
-l3 – 14 l = 0
l (l2 + 14) = 0
l1 = 0 l2 = -14 l2,3 = ± 
.
Корни этого уравнения l1 = 0, l2,3 = ± являются собственными значениями линейного преобразования.
Для нахождения собственных векторов используем систему уравнений:
Эта система имеет множество ненулевых решений, так как ее ранг меньше 3.
Полагая l = l1 = 0, получаем систему уравнений для нахождения первого собственного вектора (х1, х2, x3):
Þ 
Û 
Þ
Þ х1 : x2 : x3 = 
t : - 
t : 
t = -6 t : - 2 t : 4 t =
= 3 t : -t : 2 t. 
1 = t (3, -1, 2), t ¹ 0.
Полагая l = l2,3 = ± , получаем систему уравнений:
Þ 
Þ
Þ 
Þ х1 : x2 : x3 = 
t : -
- 
t : 
t = (-3 × ± 2 ) t :
- (14 – 1) t : (-2 
3 ) t = (3 2 ) t : 13 t :(2 ± 3 ) t
2,3 = t (3 2 , 13, 2 ± 3 ), t ¹ 0.
Пример 3. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы
А = 
.
Решение. Запишем характеристическое уравнение заданной матрицы А :
= 0.
Разложим определитель по третьей строке:
(1 - l) 
= 0
(1 - l) ((2 - l)2 – 1) = 0
(1 - l) (2 - l – 1) (2 - l + 1) = 0
(1 - l)2 (3 - l) = 0
l1,2 = 1 l3 = 3
Корни этого уравнения l1,2 = 1, l3 = 3 являются собственными значениями матрицы А.
Для нахождения ее собственных векторов используем систему:
Эта система имеет множество ненулевых решений, так как ранг ее меньше 3.
Полагая l = l1,2 = 1, получим систему уравнений
Þ 
Û 
Þ
Þ х1 : x2 : x3 = 
t : - 
t : 
t = -t : - t :0.
Собственный вектор 1,2 = t (1, 1, 0), t ¹ 0.
Полагая l = l3 = 3, получим систему уравнений:
Û 
Þ 
Þ
Þ х1 : x2 : x3 = 
t : - 
t : 
t = 2 t : - 2 t :0.
Собственный вектор 3 = t (1, -1, 0), t ¹ 0.
Пример 4. Методом собственных векторов привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка
17 х2 + 12 ху + 8 у2 = 20.
Решение. Квадратичная форма 17 х2 + 12 ху + 8 у2 полностью определяется матрицей А = 
. Найдем собственные значения матрицы А. Запишем и решим характеристическое уравнение:
= 0.
(17 - l) (8 - l) – 36 = 0 Þ l2 – 25 l + 100 = 0 Þ l1 = 5, l2 = 20. Квадратичная форма 17 х2 + 12 ху + 8 у2 преобразуется к каноническому виду l1 (х¢)2 + l2 (у¢)2, то есть 5 (х¢)2 + 20 (у¢)2, а данное уравнение кривой к виду: 5 (х¢)2 + 20 (у¢)2 = 20 или
+ 
= 1. Данная кривая – эллипс.
Пример 5. Определить тип кривой второго порядка
3х2 + 10 ху + 3у2 – 2х – 14 у – 13 = 0, написать ее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат.
Услуги
НАШ СЕРВИС
