Слишком сложно? Тогда запросите консультацию специалиста!
Наша компания занимается тем, что помогает студентам выполнять различные учебные работы на заказ. Вы можете ознакомиться с перечнем выполняемых работ, а так же с их стоимостью на странице с ценами.
Точка 
называется точкой максимума (минимума) функции 
,если существует такая окрестность точки , что для всех 
из этой окрестности выполняется неравенство 
, 
. На рис.9 изображены точки: 
- точка максимума, 
- точка минимума.
Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Минимум или максимум функции называется экстремумом функции.
Рассмотрим условия существования экстремума функции.
Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке 
, то ее производная в этой точке равна нулю.
Геометрически равенство 
означает, что в точке экстремума дифференцируемой функции касательная к её графику параллельна оси 
.
Из теоремы 1 вытекает следствие: если при всех рассматриваемых значениях 
функция имеет производную, то она может иметь экстремум только при тех значениях, при которых производная обращается в нуль.
Обратное неверно: не при всяком значении , при котором производная обращается в нуль, обязательно существует экстремум. На рис.10 изображен график функции, у которой при 
производная равна нулю (касательная параллельна оси , но в этой точке функция не имеет экстремума.
Рассмотрим точки в которых функция не является дифференцируемой (то есть не существует конечной производной).
В таких точках функция может иметь минимум или максимум, а может не иметь ни того, ни другого.
Например, функция 
не имеет производной в точке 
, но в этой точке данная функция имеет минимум. (рис. 11).
Функция 
не имеет конечной производной в точке (касательной является ось 
). В этой точке функция не имеет ни максимума, ни минимума. (рис.12).
Таким образом, непрерывная функция может иметь экстремум в точках, в которых производная равна нулю или не существует. Такие точки называются критическими.
Если непрерывная функция дифференцируема в некоторой окрестности критической точки и при переходе через эту точку слева направо производная 
меняет знак с плюса на минус, то - точка максимума, а если с минуса на плюс, то - точка минимума.
Правило исследования функции на экстремум:
1. Найти критические точки функции , то есть точки, в которых производная функции равна нулю 
или не существует.
2. Выбрать из них лишь те, которые являются внутренними точками области определения функции.
3. Определить знак производной слева и справа от каждой из выбранных критических точек.
4. В соответствии с достаточными условиями экстремума выписать точки экстремума и вычислить значения функции в этих точках.
Пример. Найти точки экстремума функции 
и значения функции в этих точках.
Решение. Область определения функции – вся числовая прямая.
Находим производную данной функции и приравниваем ее к нулю: 
. Решая это уравнение, получаем и 
- критические точки (необходимое условие экстремума выполнено).
Проверяем выполнение достаточного условия экстремума. Рассмотрим точку . Слева от этой точки 
, например, 
, справа от нее 
, например, 
. Следовательно, достаточные условия экстремума выполняются, и точка является точкой минимума. Находим значение функции в точке минимума: 
.
Теперь рассмотрим точку . Слева от этой точки , справа , Следовательно, достаточное условие экстремума не выполняется и точка не является точкой экстремума.
Ответ: 
Вопрос. Производная функции равна 
. Какая из критических точек не является точкой экстремума?
Начало формы
| все точки являются точками экстремума | |
 |
|
|
|
 |
