Слишком сложно? Тогда запросите консультацию специалиста!
Наша компания занимается тем, что помогает студентам выполнять различные учебные работы на заказ. Вы можете ознакомиться с перечнем выполняемых работ, а так же с их стоимостью на странице с ценами.
Предположим, что поверхность 
задана явным уравнением 
, где 
.
Угол 
между касательной плоскостью к поверхности и плоскость XOY равен углу между нормальным вектором 
и ортом 
. Поэтому 
, а связь между площадью элемента касательной плоскости 
и
площадью его проекции 
на плоскость XOY выглядит следующим образом:
|
 или  .
Рассмотрим теперь площадь “описанного многогранника”  .
|
Определение.Если существует предел 
суммы при условии, что мелкость разбиения 
стремится к нулю, будем считать этот предел площадью поверхности . Ясно, что 
.
Пример.Найти площадь 
части параболоида вращения 
, отсекаемой плоскостью 
.
Решение. 
= 
.
2˚. Физические приложения кратных интегралов.
Массу тела 
можно найти по формуле 
, где объёмная плотность материала, массу пластины − по формуле 
(на этот раз 
− поверхностная плотность). Точно так же, заряд 
можно вычислить, интегрируя объёмную (поверхностную) плотность распределения заряда.
Центр масс: 
, здесь 
− снова масса тела .
Напряженность в точке 
гравитационного поля, создаваемого массой, распределённой с плотностью , равна 
, где 
− гравитационная постоянная. Потенциал гравитационного поля равен 
.
Моменты инерции: 
, 
, 
и т.д.
Пример.Доказать, что однородный шар притягивает материальную точку, находящуюся вне шара, так, как если бы вся масса шара была сосредоточена в его центре.
Решение.Если расположитьшар и точку так, как показано на рисунке, будет 
. Вычислим 
, считая, что 
.
|   .
Сделаем во внутреннем интеграле следующую замену:  . При этом будет   ,  ;  .
    , где − масса шара.
|
Понятие о несобственных кратных интегралах*.
Мы не станем здесь углубляться в теорию, а рассмотрим лишь один пример: 
.
Мы можем определить его как предел частичного интеграла разными способами. Например,
или 
.
1. 
= 
.Следовательно, 
.
2. Так как подынтегральная функция положительна, то интеграл возрастает с расширением области.
Поэтому 
. Следовательно, 
. Воспользуемся этим, результатом для вычисления интеграла Пуассона 
.
Имеем 
. Поэтому 
.
Отметим, что для теории вероятностей и других дисциплин важным является следствие этой формулы 
.
Формула Грина (связь криволинейного интеграла на плоскости с двойным).
1˚. Криволинейный интеграл по координатам.
Пусть 
− кривая, заданная параметрическими уравнениями 
, 
; и пусть 
− функции, определенные в точках этой кривой. Рассмотрим разбиение отрезка 
точками 
, выберем промежуточные значения 
и обозначим 
току кривой с координатами 
. Составим интегральную сумму 
(здесь 
, а 
и т.д.).
Определение.Если существует предел 
, где 
, то он называется криволинейным интегралом по координатам и обозначается 
.
Для вычисления криволинейного интеграла следует превратить его в определённый интеграл с помощью “замены переменной”. Точнее, справедлива
Теорема.Если − гладкая кривая, а функции непрерывны вдоль этой кривой, то существует криволинейный интеграл, 
при этом 
, где 
.
Помимо обычных свойств интеграла, вроде аддитивности по дуге и линейности, справедливо ещё одно: интеграл вдоль границы области, является аддитивной функции самой области.
Поясним формулировку нового свойства рисунком. В изображенной на рисунке конфигурации интегралы по дугам AB и BA взаимно уничтожатся.
Формула Грина.
Теорема.Пусть 
− область на плоскости 
, граница которой 
− замкнутая кусочно-гладкая кривая, и пусть функции 
и 
непрерывно дифференцируемы в замкнутой области 
. В таком случае справедливо равенство:
. (1)
Здесь 
означает интегрирование вдоль замкнутой кривой, которая обходится против направления движения часовой стрелки.
Доказательство.
1. Выведем сначала формулу (1) в том случае, когда область является простой
(т.е. сечения области координатными прямыми содержат не более одного отрезка).
а) Так как простая, то. 
С другой стороны, 
. Следовательно, 
.
б) Точно так же доказывается, что 
. Складывая два полученных равенства, приходим к формуле (1).
2.Покажем на примере кругового кольца , что формула Грина верна и для областей, которые можно разбить на несколько простых областей.
| Каждая из частей  , на которые разрезано кольцо, является простой, поэтому
 ,  .
Сложим эти четыре равенства. Сумма левых частей равна  . Сумма правых частей равна  . Это показывает, что формула Грина верна для кольца .
|
Глава 8. Ряды.
