Слишком сложно? Тогда запросите консультацию специалиста!
Наша компания занимается тем, что помогает студентам выполнять различные учебные работы на заказ. Вы можете ознакомиться с перечнем выполняемых работ, а так же с их стоимостью на странице с ценами.
Условные математические ожидания и условные вероятности
 |
F - 
-алгебра и f(x) функция. Введем обозначение 
, которое понимается так: а) если x - дискретная случайная величина с таблицей распределения
то = 
, если же x - непрерывная случайная величина с плотностью распределения p(t), то = 
. Аналогично можно определить и 
(см. 2.3).
Определение 1. Условным математическим ожиданием случайной величины x относительно -алгебры A называется случайная величина, обозначаемая 
или 
, обладающая свойствами
1) она является A - измеримой;
2) для любого множества D из A выполняется 
= 
.
Определение 2. Условной вероятностью случайного события B относительно -алгебры A называется случайная величина, обозначаемая 
и определяемая как = 
, где 
= 1, если событие B произошло и = 0, если событие B не произошло.
Замечание.Из определения 1 следует, что для любого события С из A 
= 
= P(С∩B).
Без доказательства перечислим некоторые свойства условного математического ожидания.
1. Если x постоянная , т.е. x = С с вероятностью 1, то = С с вероятностью 1.
2. Если x 
с вероятностью 1, то 
с вероятностью 1.
Следствие. Верно неравенство 
с вероятностью 1.
3. Пусть x и 
случайные величины, a и b действительные числа, тогда 
= a+ bc вероятностью 1.
4. Если 
две -алгебры, такие, что 
, то 
=
=
.
5. Если x является A - измеримой, то = x.
6. Если A = { Ø, Ώ }, то = 
.
7. Если x и A – независимы (т.е. x и независимы для любого события B из A ), то = .
8. Пусть x и случайные величины, 
и 
, тогда 
= 
.
Пусть h = h(w) – случайная величина, принимающая значения y1, y2, …, yn c положительными вероятностями. Обозначим через A(h) - -алгебру, состоящую из событий 
, представимых в виде = 
; другими словами A(h) = 
. Тогда, согласно определениям 1 и 2, заменив A на A(h), величину мы назовем условным математическим ожиданием случайной величины x относительно случайной величины , а величину назовем условной вероятностью события B относительно случайной величины .
Предположим теперь, что h1, h2, …, hn произвольные случайные величины. Обозначим через A(h1, h2, …, hn ) = A(h) - -алгебру, состоящую из событий B, представимых в виде B = 
. В этом случае также говорят, что A(h1, h2, …, hn ) - -алгебра, порожденная случайными величинами h1, h2, …, hn. Также, согласно определениям 1 и 2, величину 
= мы назовем условным математическим ожиданием случайной величины x относительно случайных величин h1, h2, …, hn, а величину 
= назовем условной вероятностью события B относительно случайных величин h1, h2, …, hn, где A = A(h).
Замечание.Пусть x и случайные величины, имеющие совместную плотность распределения p(t,s). Тогда 
, где 
. Здесь 
= 
называется плотностью условного распределения x относительно случайной величины , и обозначается как 
, где 
- плотность распределения случайной величины .
Также, если предположить, что h1, h2, …, hn произвольные случайные величины, имеющие совместную плотность распределения 
, то мы можем определить плотность условного распределения, например, случайной величины h = (h2, …, hn-1) относительно случайной величины hnкак 
= 
, где 
- плотность распределения случайной величины hn.
