Слишком сложно? Тогда запросите консультацию специалиста!
Наша компания занимается тем, что помогает студентам выполнять различные учебные работы на заказ. Вы можете ознакомиться с перечнем выполняемых работ, а так же с их стоимостью на странице с ценами.
Пусть дана плоская кривая 
(рис. 10.1), уравнение которой 
, 
, где 
— непрерывно дифференцируемая функция на отрезке 
. Разобьем отрезок точками 
, на 
частей равной длины. Через точки деления 
проведем прямые, параллельные оси ординат 
. Точки пересечения этих прямых с кривой обозначим через 
. Соединив эти точки хордами, получим ломаную 
, вписанную в кривую . Пусть периметр этой ломаной равен 
. Длиной дуги будем называть число 
, равное пределу последовательности периметров 
:
Выведем формулу для вычисления длины дуги. Для этого сначала найдем периметр ломаной . Точка 
с координатами 
и 
и точка с координатами и 
являются концами 
го звена ломаной. Длину го звена вычислим по формуле расстояния между двумя точками плоскости:
. (10.3)
Учитывая, что – непрерывная дифференцируемая функция на отрезке ,по формуле Лагранжа имеем
, (10.4)
где 
— некоторая точка интервала 
. Подставив выражение (10.4) в формулу (10.3), получим:
, (10.5)
где 
. Значит, периметр ломаной равен следующей сумме:
.
Получили интегральную сумму для непрерывной функции 
на отрезке . Так как предел этой суммы при n → ∞ существует, то согласно определению находим
.
Таким образом,
