Слишком сложно? Тогда запросите консультацию специалиста!
Наша компания занимается тем, что помогает студентам выполнять различные учебные работы на заказ. Вы можете ознакомиться с перечнем выполняемых работ, а так же с их стоимостью на странице с ценами.
«Послушайте, — скажет возмущенный читатель, — а не требуете ли вы от человеческого мышления слишком многого?» Нет, не требую; к счастью, встречаются не столь слепые процессы.
19. Как показывают реакции детей, позитивный, продуктивный ход мышления имеет совершенно иной характер. Вопрос о площади в смысле суммы маленьких единичных квадратов рассматривается в связи с фигурой, в связи с ее характерной формой; ребенок обнаруживает, что существуют параллельные ряды, которые прилегают друг к другу, равны друг другу, содержат одинаковое число маленьких квадратов. Затем число квадратов в одном таком ряду, определяемое длиной одной из сторон, умножается на число рядов, определяемое длиной другой стороны. Здесь важно понять, что площадь структурирована в соответствии с характерной формой фигуры. Ни один из предполагаемых шагов не является произвольным, не связанным с внутренней природой проблемной ситуация.
Один и тот же результат (площадь=а-b) психологически имеет различный смысл в разумной и дикой процедурах: а-b в осмысленной процедуре рассматривается не просто как «произведение двух членов», поскольку один из них означает число квадратов в одном ряду, а второй — число рядов. Множители имеют различное структурное и функциональное значение, и, пока это не будет осознано, формула и даже смысл самого умножения не будут поняты.
Рис. 18
20. Я приведу иллюстрацию последнего утверждения. Мальчику показывают прямоугольник, разделенный на маленькие квадратные части. Ему говорят, что общее число квадратов — площадь — равно а-b. Теперь, перемножая стороны, он может правильно вычислить площадь нескольких предложенных ему прямоугольников. Я спрашиваю его: «Ты уверен, что это правильно?» «Конечно, ведь вы меня научили формуле, но, если хотите, я могу пересчитать», — отвечает он. И начинает пересчитывать наборы из пяти квадратов следующим образом:
| 3 | 4 | 5 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 5 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 1 | 2 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 4 | 5 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 1 |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 1 | 2 | 3 |
Рис. 19
Закончив подсчет, он поворачивается ко мне: «Вот видите, все верно».
Ясно, что что-то существенное здесь упущено. Мальчик не понял, каким образом из повторения параллельных рядов строится площадь. Он не использовал основной структурный признак, заключающийся в том, что ряды состоят из одинакового числа квадратов. И таким образом, ему не удалось найти основу осмысленного структурного понимания площади.
Другими словами, если бы площадь определялась посредством вычислений, которые произвел мальчик, то фигура совсем не обязательно должна была бы быть прямоугольником. Подошла бы любая другая фигура, составленная из прилегающих малых квадратов. Действия ученика не учитывают внутреннюю связь фигуры с операцией умножения.
Подобное структурное понимание (или отсутствие такового) играет решающую роль и в переносе. Вот короткий пример: в экспериментальных целях ребенку показывают, как определяется площадь квадрата. Он овладевает приемом и применяет его в различных случаях, а затем его просят определить площадь прямоугольника. Он не может ее найти. Я спрашиваю: «Почему бы тебе не поступить таким же образом, как ты это делал в случае с квадратом?» Он колеблется, а затем говорит: «Не могу... здесь стороны не равны».
Но если бы на примере квадрата он действительно разобрался в сути дела, понял бы, что площадь следует рассматривать как произведение числа квадратов, лежащих в основании, на число рядов, то перенос не вызвал бы никаких затруднений. В этом случае равенство сторон квадрата не было бы помехой, оно структурно было бы периферическим явлением, не имеющим существенной связи с решением.
Перенос может быть и слепым. Без такого понимания можно просто слепо считать, что и площадь прямоугольника определяется произведением двух его сторон. Если называть и этот случай обобщением, то следует ясно понимать, что существует важное различие между структурно слепыми, или бессмысленными, обобщениями и обобщениями осмысленными.
21. Мне могут возразить: «Почему вы говорите о понимании внутренней структуры, внутренних требований, подразумевая при этом, что схватывание структурных при-
знаков в ваших примерах делает действия осмысленными? А что вы скажете о неевклидовых ситуациях? Что если мы выберем для нашей геометрии другие аксиомы? То, что разумно в одной системе, может быть бессмысленным в другой. То, что вы говорите, может показаться разумным только тем, кто разделяет наивную старомодную веру в важность только евклидовых аксиом».
Это возражение несостоятельно: оно не затрагивает существа вопроса. Неевклидова геометрия обладает своими собственными структурными признаками, но и в новом, более широком контексте сохраняют силу требования осмысленности. После введения признака пространственной кривизны некоторые утверждения евклидовой геометрии оказываются непригодными, так как они не учитывают условий, появляющихся с введением кривизны, и соответствуют только частному случаю, при котором кривизна равна нулю.
Коротко проиллюстрируем сказанное: фигура, состоящая из четырех «прямых» линий и четырех прямых углов на поверхности сферы, отличается от плоского прямоугольника также и площадью, но и в этом случае вы можете либо осмысленно определить эту площадь, поняв ее внутреннюю структуру, либо получать результаты диким методом, аналогичным уже рассмотренным нами случаям.
«Почему вы в этом контексте говорите о разумности?— спросит логик. — Разумность — это не что иное, как требование непротиворечивости в смысле старой формальной логики. Любая теорема, любой закон — даже ваш пример площади прямоугольника, равной в описанном вами искусственном мире 2 (а+b),— являются нелепыми или неразумными только потому, что они противоречат другим законам и не согласуются с аксиомами собственной системы. Вот и все».
Но этот аргумент просто переносит вопрос с теорем на аксиомы. Если рассмотреть другие аксиомы, соответствующие именно таким структурно слепым связям и обеспечивающие формальную непротиворечивость, то в результате окажутся дикими не только отдельные теоремы, но и вся аксиоматическая система.
Конечно, в современной математике наблюдается тенденция к построению систем, из которых устраняется структурная осмысленность. Некоторые считают, что следует игнорировать такую осмысленность. Сходная тенденция наблюдается и в развитии логики — логика сводится
к игре, управляемой суммой произвольно комбинируемых отдельных правил. Как разделение труда такая специализация заслуживает одобрения, особенно когда дело касается критериев строгой логической валидности. Но если к этому сводится все назначение логики, то тем самым мышление лишается тех признаков, которые играют важную роль в действительно продуктивных процессах. Однако, каково бы ни было отношение структурных проблем к формальной логике и теории познания (независимо от решения вопроса о том, следует или не следует логике заниматься структурными проблемами), они являются решающим моментом подлинно разумных, продуктивных процессов.
Развитие современной математики происходило в направлении полного освобождения от всяких следов геометрической интуиции. Это имело свои основания, поскольку анализировались вопросы валидности идеальных, аксиоматических систем, в которых конкретные теоремы выводятся только путем применения к аксиомам силлогистических и сходных формальных операций. Но это вполне обоснованное стремление не следует смешивать с проблемами понимания и подлинно продуктивных процессов. Я не встречал ни одного действительно продуктивного математика, который не чувствовал бы этого различия. Некоторые говорили: «Это не логический и не математический вопрос. Это психологический вопрос, или, если угодно, вопрос эстетической стороны дела». Мне кажется, что такие утверждения связаны со слишком узким пониманием логики. К тем шагам и операциям, которые образуют дикие процедуры, приходят не логическим путем. Прямая процедура кажется также и более логичной. Различие между произвольными, слепыми и осмысленными действиями составляет самую суть логики.
22. Приведенные примеры и в самом деле были дикими и бессмысленными, и читатель вправе спросить, зачем их нужно было приводить. Их искусственность и бессмысленность вполне очевидны; достаточно здравого смысла, чтобы понять их отличие от действительно осмысленных действий. Но в целях научной ясности необходимо сосредоточить внимание на очевидных вещах. Некоторые теоретические построения в логике, теории познания, психологин игнорируют эту фундаментальную проблематику или даже пытаются оправдать слепоту к ней.
Более того, то, что мы склонны считать само собой
разумеющимся и «очевидным», нуждается в научном освещении и разработке. Здесь я использовал термины, которые кажутся непривычными и недостаточно простыми. Следует, однако, понять, что сама ситуация таит в себе множество проблем. И в этом нет ничего странного. В то время как в традиционной логике существует множество хорошо разработанных операций, операции, с которыми имеем дело мы, все еще плохо изучены. Гештальттеория только пытается их разработать.
23. «Вы не упомянули, — вмешивается логик, — еще одно обстоятельство, достаточное для различения действий, которые вы называете дикими, и действий разумных. Эти примеры кажутся бессмысленными просто потому, что состоят из большего числа шагов, являются более длинными. Вы забыли о „lex parsimoniae"».
Все предыдущие решения действительно содержали большее число шагов, чем соответствующие разумные решения. Но этот внешний признак не должен вводить вас в заблуждение. Он не имеет существенного значения.
Всегда ли такие «мудреные» действия необходимо содержат большее число шагов? Всегда ли они «сложнее» соответствующих осмысленных действий? Нет. В задачах на определение площади прямоугольника и параллелограмма осмысленные действия структурно слишком просты, чтобы допустить применение более короткого метода, но в учебниках по математике можно обнаружить такие случаи. Рассмотрим, например, следующую задачу.
Какова сумма ряда:
S=l+a+a2+a3+a4...? (a<1)
Вот обычное решение:
1) Напишите равенство 1. S = 1+а+a2+а3+а4+...
2) Умножьте обе части 2. aS=a+a2+a3+a4+a5...
равенства на а
3) Вычтите из первого ра- 3. S—aS= 1
венства второе
4) Найдите S
Вот правильный результат: 
он корректно получен, доказан и весьма элегантен из-за своей краткости. Действительное понимание, разумный вывод формулы отнюдь не просты; для этого требуется гораздо большее число нелегких шагов. Хотя многие и вынуждены признать коррект-
ность описанных выше действий, они не испытывают чувства удовлетворения и чувствуют себя обманутыми. Умножение на а, а затем вычитание одного ряда из другого дает решение, но не приводит к пониманию того, как бесконечный ряд (точнее, последовательность его частичных сумм) приближается в процессе роста к своему предельному значению1. Подлинное понимание исходит из рассмотрения роста ряда и приводит к закону роста, что позволяет найти предел. Многие в действительности не достигают понимания. Они удовлетворяются получением правильного ответа2.
Существуют математические теоремы, которые в настоящее время имеют только «внешние» решения, потому что они остаются все еще слишком сложными для конструктивного понимания. Крайними примерами их являются некоторые случаи так называемого доказательства от противного, непрямого доказательства, в котором используется принцип исключенного третьего, показывающий, что принятие противоположной посылки невозможно, поскольку оно ведет к противоречию. Но такое доказательство не позволяет понять, как конструктивно достигается позитивное решение. Знаменитый математик Брауэр презрительно называл такие непрямые доказательства «позвоночным мышлением». Я не стану здесь выяснять, насколько обоснованно его требование не признавать результаты, которые могут быть получены только таким способом. Я лишь хочу подчеркнуть, что существует огромное различие между осмысленным решением, основанным на понимании сущности задачи, и решением, совершаемым посредством внешних действий.
1 Вот пример ответа испытуемого в одном из моих экспериментов: «Странно... умножение на а ... зачем? Разве это приближает меня к цели?.. Вычитание — зачем? А теперь в 3) все, что я знаю о структуре 5, исчезло! Разве я ищу сумму этого возрастающего ряда? Я знаю о ней не больше, чем раньше, — только то, что она равна 1/1-a. Но почему? Как?»
2 Конечно, для профессионала и эта обычная процедура является осмысленной. Она основана на понимании того, что при «сдвиге», то есть при умножении на а, ряд, за исключением первого члена, не изменяется. И все же эта процедура остается внешней и не предполагает действительного понимания того, как возникает сумма.
III
24. Прежде чем перейти к рассмотрению подлинных процессов мышления детей в связи с определением площади параллелограмма, мы зададим следующий вопрос: «Каковы этапы действительно разумного процесса определения площади прямоугольника?» Мы коротко перечислим этапы, которые считаем существенными, основываясь на экспериментах с детьми и взрослыми.
1) Предлагается задача: чему равна площадь прямоугольника? Еще не знаю. Как я могу это узнать?
2) Я чувствую, что должна существовать какая-то внутренняя связь между величиной площади и формой прямоугольника. Какова эта связь? Как я могу ее обнаружить?
3) Площадь можно рассматривать как сумму маленьких квадратиков, помещающихся в фигуре1.
Рис. 20
А форма? Это не любая фигура, не простое нагромождение маленьких квадратов; я должен понять, как площадь «строится» в этой фигуре! (Рис. 20.)
4) Разве способ организации, (или возможность организации) малых квадратов в этой фигуре не ведет к ясному структурному восприятию целого? Да, конечно. Длина фигуры повсюду одна и та же, и это должно быть связано с постепенным увеличением площади! Параллельные ряды малых квадратов прилегают друг к другу и взаимно равны; таким образом они заполняют всю фигуру. У меня есть совершенно одинаковые по длине ряды, которые вместе образуют целую фигуру.
1 Я опускаю здесь процессы, которые начинаются с варьирования размера прямоугольника; введение маленьких квадратов упрощает картину. Иногда дети сами находят этот прием; иногда экспериментатор предъявляет прямоугольник, состоящий из кубиков, или с самого начала проводит линии; в этих случаях детям все еще предстоит самим сделать существенные шаги.
5) Я хочу найти общую сумму; сколько всего в фигуре рядов! Я осознаю, что на это указывает высота — сторона а. Чему равна длина одного ряда? Очевидно, она задается длиной основания b.
6) Значит, я должен умножить а на b. (Это не просто умножение двух величин одного и того же рода: на этом этапе существенное значение имеет их характерное функциональное различие.)
При таком структурировании прямоугольника ясным становится вопрос о величине площади. Полученная структура прозрачна и легко схватывается. Решение достигается 1 благодаря пониманию внутренней структурной связи между площадью и формой.
25. Я не утверждаю, что именно такие фазы могут быть вычленены в актуальном процессе мышления 2. Обычно они тесно взаимосвязаны внутри целостного процесса; и все же, по-моему, их выделение необходимо для действительного понимания существа дела.
Эти фазы включают ряд операций и признаков, которые не были по-настоящему оценены или изучены традиционной логикой и ассоциативной теорией.
1) Здесь имеет место группировка, реорганизация, структурирование, операции деления целого на части, которые все-таки продолжают рассматривать вместе, в прямой связи с целой фигурой и под углом зрения поставленной специфической задачи.
Эти операции осуществляются не любым способом, мы имеем дело не с любой группировкой или организацией, хотя фактически существует много различных спосо-
1 На четвертом этапе вместо горизонтальных рядов можно выбрать вертикальные. Но в ходе решения не следует смешивать эти два способа. Когда ребенок их путает, легко стирается различие между «числом рядов» и «длиной ряда»; поэтому рекомендуется начинать с прямоугольника, у которого стороны явно различаются. Пятый этап особенно очевиден в случае, когда стороны прямоугольника кратны стороне мерного квадрата; в противном случае процедура включает еще один шаг, а именно уменьшение площади мерного квадрата. В 5) и 6) появляется умножение. Но это отнюдь простое или необходимое воспроизведение операции, усвоенной уроках арифметики. Возможно даже, что это нечто совершенно противоположное: сама идея умножения, или смысл умножения, может стать понятной именно в таком контексте.
2 Я бы не советовал адаптировать каждый из этих шагов для школьного обучения. Но иногда полезно задать вопрос в одном из указанных направлений.
бов группировки; фазы планируются и осуществляются в соответствии с целостными свойствами фигуры, с целью определить четкую структуру площади.
Решение предполагает понимание того, каким образом части целого складываются друг с другом и заполняют всю площадь, осознание внутренней связи между тем, как они согласуются друг с другом и целостными свойствами фигуры, например прямолинейностью ее сторон и т. д.
2) Процесс начинается с желания установить внутреннюю связь между формой и размером. Это не поиски любого отношения, которое может их связывать, а поиски природы их внутренней взаимозависимости.
Некоторые люди начинают вводить изменения, наблюдая и изучая, как изменение (например, ширины фигуры) влияет на ее форму и площадь, и таким образом улавливают какие-то внутренние отношения.
3) Выделенные отношения этого типа — имеющие смысл с точки зрения внутренней структуры данной ситуации, — которые мы будем называть ρ-отношениями, играют здесь важную роль:
| Прилегающие друг к другу равные, прямолинейные, параллельные ряды: | образуют прямоугольник, содержащий
прямые линии, а не такую, например, структуру, как
|
| Число рядов: Число квадратов в ряду: Умножение: | длина одной стороны длина другой стороны заполнение структуры |
4) Здесь наблюдается понимание различного функционального значения частей, то есть двух сомножителей,— важнейший признак продуктивного решения и всякого действительного понимания формулы.
5) Весь процесс является единым последовательным процессом мышления. Это не объединение отдельных операций. Ни один шаг не оказывается произвольным, непонятным по своему назначению. Напротив, каждый шаг связан с целостной ситуацией. Ни один из шагов не похож на а—b, 1/а или (а—b) 2из наших бессмысленных примеров.
Основные признаки упомянутых операций коренным образом отличаются от операций традиционной логики и ассоциативной теории, которые слепы к целостности и к структурным требованиям ситуации, порождающим такого рода операции.
Надеюсь, что читатель почувствовал удивительную последовательность и замечательную ясность такого процесса, а также его разительное отличие от процессов, состоящих из изолированных бессмысленных операций.
26. В отличие от этого описание процесса в терминах одной только традиционной логики или ассоциативной теории выглядит поистине жалким.
Здесь я хочу сделать одно замечание в отношении этих подходов. В традиционной логике важнейшее значение придается универсальности: в понятиях, в суждениях мы хотим обнаружить свойства, общие для многих объектов (в данном случае — общие свойства многих прямоугольников). Аналогично в ассоциативной теории основным является вопрос о том, во многих ли случаях, при многих ли повторениях обнаруживается та или иная устойчивая связь. В соответствии с этим бессмысленность наших примеров индукции объясняется тем, что они не обладают общей валидностыо. Однако вопросы осмысленного структурирования, организации, согласования частей друг с другом, соединения их в целое и т. д. не обязательно связаны с мыслью о других случаях; они могут осуществляться в отдельном конкретном случае, если рассматривать его структурно, осмысленно. Это, конечно, не обеспечивает фактическую универсальность, но часто приводит к осмысленному пониманию и подлинному открытию существенных признаков, в отличие от действий, основанных на слепом обобщении общих признаков, присущих большинству или всем случаям. И это также предполагает возможность структурно осмысленного переноса (см. пункт 4), ведущего к пониманию общности и универсальности. Но те или иные фазы решения не обязательны при рассмотрении многих случаев и констатации их общих черт.
27. Обнаружив, что обычных понятий недостаточно, некоторые теоретики пришли к заключению, что мышление становится продуктивным в результате использования принципа отношений. Конечно, понимание отношений играет важную роль в мышлении, но это утверждение само по себе не служит объяснением главного вопроса,
не является его решением. Ибо трудности, с которыми мы столкнулись при анализе элементов, снова возникают и в связи с отношениями. Понимание любых отношений, даже если они установлены правильно, не является решающим; важно, чтобы эти отношения были структурно необходимы, чтобы они возникали, рассматривались и использовались как части с точки зрения их функции в структуре целого. И это в равной степени относится ко всем операциям традиционной логики и ассоциативной теории, таким, как обобщение, абстрагирование и т. д., если они применяются в реальных процессах мышления.
Между прочим, бессмысленные и безуспешные процедуры предполагают не меньше отношений, чем продуктивные.
28. Согласно другому современному подходу, можно рассуждать так: «Подчеркиваемое вами различие между бессмысленными и хорошими примерами является в действительности элементарным и означает только то, что в случаях, которые вы называете бессмысленными, мы используем такие средства, шаги и операции, о которых заранее неизвестно, что они увенчаются успехом. Тогда как в случае действий, которые вы называете разумными, мне это известно по прошлому опыту. Я, например, заранее знаю, что если некоторое количество разделено на одинаковые части, то я могу воспользоваться известным мне приемом умножения. Здесь я использую средства, которые связаны с результатами предшествующих упражнений. Ассоциация вызывает воспоминание».
Против первой части этой формулировки нечего возразить: действительно, в бессмысленных примерах используются средства, относительно которых заранее неизвестно, помогут ли они. Но вторая часть формулировки является несостоятельной: во-первых, она игнорирует операции согласования, группировки и т. д. и их характерные особенности; во-вторых, знание, что между целью и средством существует какая-то постоянная связь, и использование его еще не решают дела. «Знание» — двусмысленное понятие. Знание слепой связи, например связи между выключателем и светом, сильно отличается от понимания или открытия внутренней связи между средством и целью, от понимания их структурного соответствия в данном случае (см. пункт 38). Это различие играет важную роль особенно в отношении возникновения осмысленного, продуктивного процесса.
Иутверждение, что мы вспоминаем об умножении, которое было усвоено в результате упражнений, не подходит к нашим разумным случаям. Ибо операция умножения и его смысл нередко постигаются благодаря осознанию структурных требований именно в таких заданиях. И даже если техника умножения была усвоена раньше н теперь осуществляется по памяти, важно, что именно было известно и что вспоминается: какие-то слепо применяемые заученные операции или же те операции, которые структурно необходимы и вспоминаются и применяются именно по этой причине, а не в результате какой-нибудь случайной ассоциации (например, накануне вы выполнили много упражнений на умножение или слышали слово «площадь» в связи со словом «умножение»).
29. Умножение — это не просто операция, которая должна быть заучена и которая характеризуется в терминах ассоциаций, связей между числами. Если оно является осмысленным, то основывается на структурном открытии или понимании, которые необходимы даже при его применении. Правда, к сожалению, многих детей обучают умножению с помощью упражнений, и они мгновенно выполняют умножение, но не имеют ни малейшего представления о том, где его следует применять 1.
1 Я обыкновенно спрашивал девочку (в доме часто бывали гости): «Сколько мужчин и сколько женщин сидит за столом?» «Сколько всего гостей за столом?» Я часто задавал этот вопрос; сначала когда девочке было шесть, затем — семь, потом — восемь лет. В школе она хорошо успевала по арифметике. Когда вы просили ее перемножить, скажем, 6 и 2, она мгновенно правильно отвечала. Но в данном случае, даже если четверо мужчин сидели по одну сторону стола, а четыре женщины — по другую или если мужчины и женщины сидели парами, она начинала нудно пересчитывать гостей: «Один, два, три, четверо мужчин; одна, две, три, четыре женщины». И только в возрасте восьми с половиной лет ей пришло в голову, пересчитав мужчин, сказать: «А женщин столько же», или: «Одна, две, три, четыре пары». А она была умным ребенком. Она только не понимала связи группировки с количеством, так как привыкла считать предметы по одному.
Однако в возрасте шести лет, в более сложной, но структурно более прозрачной ситуации, она поразила меня своими действия-пи. Как и многих других детей, я попросил ее мысленно сосчитать сторон и углов у кубика сахара, а затем — у пирамиды и двойной пирамиды. Она смогла найти ответ структурным методом и применить его к пирамиде и двойной пирамиде, даже к пирамиде с 3х7сторонами, хотя не умела считать до 21 и даже не могла произнести это число.
30. Теперь я расскажу, что происходило, когда я давал задачу на определение площади параллелограмма испытуемым — главным образом детям, — после того как вкратце объяснял им, как определяется площадь прямоугольника, не говоря ничего больше, ни в чем не помогая, просто ожидая, что они скажут или сделают. Среди испытуемых были взрослые люди различных профессий, студенты, по реакции которых можно было судить о том, что они совершенно забыли эту теорему, и дети, которые вообще никогда не слышали о геометрии, даже пятилетние дети.
Наблюдались реакции различных типов.
Первый тип. Вообще никакой реакции.
Или кто-нибудь говорил: «Фу! Математика!» — и отказывался решать задачу со словами: «Не люблю математику».
Некоторые испытуемые просто вежливо ждали или спрашивали: «Что же дальше?»
Другие говорили: «Не знаю; этому меня не учили». Или: «Я проходил это в школе, но совершенно забыл», и все. Некоторые выражали недовольство: «Почему вы считаете, что я смогу это сделать?» И я отвечал им: «А почему бы не попробовать?»
Второй тип. Другие энергично рылись в памяти, пытаясь вспомнить что-нибудь такое, что могло бы им помочь. Они слепо искали какие-нибудь обрывки знаний, которые могли бы применить.
Некоторые спрашивали: «Можно спросить у моего старшего брата? Он наверняка знает». Или: «Можно посмотреть ответ в учебнике геометрии?» Очевидно, это тоже является одним из способов решения задач.
Третий тип. Некоторые начинали пространно рассуждать. Они вели разговор вокруг задачи, рассказывая об аналогичных ситуациях. Или же классифицировали ее каким-то образом, применяли общие понятия, относили задачу к какой-то категории или осуществляли бесцельные пробы.
Услуги
НАШ СЕРВИС
