Слишком сложно? Тогда запросите консультацию специалиста!
Наша компания занимается тем, что помогает студентам выполнять различные учебные работы на заказ. Вы можете ознакомиться с перечнем выполняемых работ, а так же с их стоимостью на странице с ценами.
Система m линейных уравнений
Ранее было установлено, что ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк, поэтому если строки расширенной матрицы (А│В), т.е. уравнения системы (3.2.1), линейно независимы, то ранг матрицы (А│В) равен числу ее уравнений, т.е. r = m, если уравнения линейно зависимы, то r < m.
Вопрос о разрешимости системы (3.2.1) в общем виде рассматривается в следующей теореме.
Теорема Кронекера-Капелли.Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы. r(A)= r(А│В). При этом:
1) если ранг матрицы совместнойсистемы равен числу переменных, т.е.r = n, то система (3.2.1)имеет единственное решение.
2)еслиранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т.е. r < n , то система (3.2.1) неопределенная и имеет бесконечное множество решений.
Результаты исследования системы (3.2.1) приведем в виде схемы
|
|
|
| |||||
| |||||
| |||||
|
Пусть r<n. Тогдаr переменных х1, х2, … хrназываютсяосновнымиилибазисными, если определитель матрицы из коэффициентов при них (т.е. базисный минор) отличен от нуля. Остальные n- r называются неосновными, или свободными.
Придавая свободным переменным xr+1, xr+2, …, xn произвольные значения, из последнего уравнения системы (3.2.9) найдем значение переменной хr, из предпоследнего xr-1 и т.д. – остальные базисные переменные x1, x2, … , xr-2.
Решение системы (3.2.1) в котором все n-r свободных переменных равны нулю, называется базисным.
Так как каждому разбиению переменных на основные и неосновные соответствует одно базисное решение, а число способов разбиения не превосходит числа сочетаний, то и базисных решений имеется не более C rn. Таким образом, совместная система m линейных уравнений с n переменными (m<n) имеет бесконечное множество решений, среди которых базисных решений конечное число, не превосходящее Crn , где r≤m.
Приведенная схема не означает, что для решения системы (3.2.1) в общем случае необходимо вычислять отдельно, а затем сравнивать ранги матрицы системы А и расширенной матрицы (А/В). Достаточно сразу применить метод Гаусса.
Метод Гаусса по сравнению с другими методами (в частности, приведенными в параграфе) имеет следующие достоинства:
· значительно менее трудоемкий;
· позволяет однозначно установить, совместна система или нет, а в случае совместности найти ее решения (единственное или бесконечное множество);
· дает возможность найти максимальное число линейно независимых уравнений (ранг матрицы системы).
Пример. Решить систему уравнений.
2х1 – х2 + х3 – х4 = 5
х1 + 2х2 – 2х3 + 3х4 = -6
3х1 + х2 – х3 + 2х4 = -1
Т.к. в данной системе число уравнений меньше числа переменных (m=3, n=4), систему невозможно решать ни методом обратной матрицы, ни по формулам Крамера. Используем метод Гаусса. Выпишем расширенную матрицу системы
2 -1 1 -1 5
(А/В) = 1 2 -2 3 -6
3 1 -1 2 -1
Для удобства поменяем местами 1-ю и 2-ю строки, и первое уравнение будем считать разрешающим с разрешающим элементом а11≠0. Матрица (А/В) перейдет в эквивалентную
1 2 -2 3 -6
2 -1 1 -1 5
3 1 -1 2 -1
1 шаг.Под разрешающим элементом записываем нули, а остальные элементы пересчитываем (например, по правилу прямоугольника). Получаем:
 | |
1 2 -2 3 -6
0 -5 5 -7 17
0 -5 5 -7 17
Две одинаковые строки в матрице означают, что в системе после преобразований получены 2 одинаковых уравнения. Следовательно, одно из одинаковых уравнений (одну из одинаковых строк) можно отбросить. Получена матрица
1 2 -2 3 -6
0 -5 5 -7 17
1 2
Минор = -5 ≠ 0. Следовательно, ранг А/ В = 2
0 -5
Больше шагов не требуется.
В системе две переменные являются базисными. Это могут быть переменные х1, х2. Тогда остальные переменные х3, х4 можно считать свободными,через которые можно выразить базисные переменные. Из последней матрицы следует:
х1 + 2х2 – 2х3 + х4 = -6
- 5х2 + 5х3 – 7х4 = 17
х2=
(5х3 – 7х4 - 17)
х1 = - 6 - 
(5х3 – 7х4 - 17) + 2х3 – х4 = 9х4 + 
Найдем базисное решение, полагая, что свободные переменные х3=х4=0. Тогда х1 = ; х2 = - 
.
Получено базисное решение Χ = (
).
Приняв за базисные переменные любую другую пару переменных, можно получить другие базисные решения. Число базисных решений
N = C24 = 
=6.
