Слишком сложно? Тогда запросите консультацию специалиста!
Наша компания занимается тем, что помогает студентам выполнять различные учебные работы на заказ. Вы можете ознакомиться с перечнем выполняемых работ, а так же с их стоимостью на странице с ценами.
Свойства неопределенного интеграла базируются на свойствах дифференциала функции.
Напомним, что если 
– дифференцируемая в точке 
функция, то произведение
является дифференциалом функции в точке соответственно приращению аргумента 
.
Для дифференцируемых функций и 
правила действий над их дифференциалами аналогичны правилам вычисления производных (здесь и везде далее 
– произвольное число), а именно:
;
; 
;
; 
;
.
Для первообразной 
функции 
из соотношения 
, 
имеем 
или 
– подведение функции под дифференциал.
Используя указанные равенства, получаем следующие свойства неопределенного интеграла.
Свойство 1. 
,
т.е. производная неопределенного интеграла (производная каждой функции множества всех первообразных 
) равна подынтегральной функции.
Свойство 2. 
,
т.е. дифференциал неопределенного интеграла (дифференциал
каждой функции множества всех первообразных) равен подынтегральному выражению.
Иначе, знаки дифференциала и интеграла взаимно уничтожаются, если знак «
»стоит перед знаком «
».
Свойство 3. 
,
т.е. неопределенный интеграл от дифференциала какой-либо функции равен сумме этой функции и произвольного числа . Иначе, если знак «»стоит рядом и перед знаком «», то эти знаки тоже взаимно уничтожаются, причем к функции прибавляется произвольное число .
Свойство 4. 
– аддитивность по функции операции интегрирования, т.е. неопределенный интеграл от суммы функций равен сумме неопределенных интегралов от этих функций (предполагается, что все участвующие в равенстве интегралы существуют). При этом, если 
и 
, то записывают 
, объединяя 
и 
в одну произвольную постоянную .
Свойство 4 верно для суммы конечного множества слагаемых.
Свойство 5. 
, 
, 
–
Однородность операции интегрирования, т.е. при вычислении неопределенного интеграла постоянный ненулевой множитель можно
выносить за знак интеграла (соответственно можно вносить под знак интеграла).
Пример. Вычислить интеграл 
.
Решение. В силу свойства 4 имеем 
.
Согласно свойству 5 выполняются равенства: 
, 
, 
.
Из ранее рассмотренных примеров имеем 
и 
. Поэтому 
. Отсюда в силу свойства 3 
.
Свойство 6. Пусть – первообразная для на 
; функция 
– произвольная дифференцируемая на 
функция, множество значений которой совпадает с . Тогда равенство 
сохраняется, если заменить в обеих частях его переменную интегрирования функцией 
, 
.
В самом деле, вычисляя дифференциал сложной функции 
, получим выражение
,
совпадающее с подынтегральным выражением интеграла, что
доказывает справедливость формулы.
Свойство 6. называют обычно свойством инвариантности
формул интегрирования и используют при вычислении интегралов (замена переменной).
Пример. Равенство 
в силу свойства 6 можно записать в виде 
, где (или 
) – произвольная дифференцируемая функция, и использовать в качестве формулы для вычисления многих интегралов. Например,
, 
,
,
.
Заметим, что более общая формула 
(
– произвольное число, 
) следует из равенства 
, если использовать свойство 6.
Аналогично из каждой формулы дифференцирования элементарной функции путем ее обращения получается «интегральная» формула . Подобные формулы составляют таблицу основных интегралов, которые называются для краткости «табличными».
В практике вычисления неопределенных интегралов обычно пользуются специальными справочниками.
