Слишком сложно? Тогда запросите консультацию специалиста!
Наша компания занимается тем, что помогает студентам выполнять различные учебные работы на заказ. Вы можете ознакомиться с перечнем выполняемых работ, а так же с их стоимостью на странице с ценами.
Опр (Коши,1821) Пусть 
. Отображение 
называется функцией комплексного переменного (ФКП).
Опр Пусть 
- предельная точка множества . Число
называется пределом функции в точке
, если 
. Пусть - предель ная точка множества и
. Функция называется непрерывной в точке
, если
.
ЗАМЕЧАНИЕ Пусть функция 
определена в окрестности точки 
и принимает значения в 
. Тогда она непрерывна в точке , если и только если отображение 
непрерывно в точке .
Пр ФКП непрерывна в области
, так как 
непрерывна как функция двух вещественных переменных.
ТЕРЕМА 10.2(критерий дифференцируемости ФКП в точке) Пусть функция комплексного переменного 
определена в окрестности точки 
. Тогда равносильны утверждения: 1) дифференцируема в точке
;
2) отображение дифференцируемо в точке 
, удовлетворяет в ней уравнениям Коши-Римана: 
, 
.
ЗАМЕЧАНИЕУравнения Коши-Римана в полярной системе координат имеют вид 
.
СЛЕДСТВИЕЕсли дифференцируема в точке
, то ее производную можно вычислять по формуле 
.
____
Опр 
;
(Эйлер, 1749,1762);
;
.
Опр Функция комплексного переменного называется целой, если она дифференцируема в каждой точке плоскости .
ТЕОРЕМА 10. 31) Функция целая
-периодическая и не имеет нулей в плоскости .
2) Функции целые
-периодические и
.
3) Функция 
дифференцируема в каждой точке из кроме точек 
; функция
дифференцируема в каждой точке из кроме точек 
;
4) Функция 
дифференцируема в каждой точке плоскости с разрезом 
и является обратной к функции в полосе
;
5) Функция 
, является дифференцируемой в плоскости с разрезом ;
6) Функция 
целая и не имеет нулей в .
Пр 1 
.Пр 2 
.
____
Опр Функция комплексного переменного называется аналитической в точке , если она дифференцируема в каждой точке некоторой
-окрестности 
. Точка, в которой не аналитическая, называется особой точкой функции.
Пр
аналитическая в любой точке кроме 
.
Опр Функция 
называется аналитической (голоморфной) в области , если она аналитична в каждой точке этой области.
ЗАМЕЧАНИЕ От греч. 
- целый + 
- форма. Термин ввели Брио и Буке (середина ХIХ века). Термин «аналитическая функция» - Кондорсе.
Опр(Коши). Функция называется аналитической (голоморфной) на замкнутом множестве
, если она аналитична в некоторой области, содержащей .
ЗАМЕЧАНИЕ(физический смысл аналитической функции) Пусть в материальной односвязной плоской области 
известна напряженность электростатического поля , порождаемого зарядами, сосредоточенными на границе
. Тогда
существует аналитическая в функция 
, которая называется комплексным потенциалом электростатического поля, и которая обладает свойствами:
1) ; 2) линии уровня
совпадают с силовыми линиями этого поля; 3) линии уровня 
совпадают с эквипотенциальными
линиями поля.
