Слишком сложно? Тогда запросите консультацию специалиста!
Наша компания занимается тем, что помогает студентам выполнять различные учебные работы на заказ. Вы можете ознакомиться с перечнем выполняемых работ, а так же с их стоимостью на странице с ценами.
Свободные колебаниясовершаются под действием внутренних сил системы, после того, как система была выведена из состояния равновесия. Колебания груза на пружине или колебания маятника являются свободными колебаниями (рис.4 и 5)
Рис.4. Колебания груза на пружине. Трения нет.
Рис.5 Математический маятник. φ – угловое отклонение маятника от положения равновесия, x = lφ – смещение маятника по дуге.
Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания - колебания, при которых колеблющаяся величина изменятся со временем по закону синуса (косинуса). Рассмотрение гармонических колебаний важно по двум причинам :
· Колебания встречающиеся в природе и технике, часто имеют характер, близкий к гармоническому;
· Различные периодические процессы (процессы, повторяющиеся через равные промежутки времени) можно представить как наложение гармонических колебаний.
Рассмотрим сначала уравнение свободных колебаний
(1)
Напишем соответствующее характеристическое уравнение
и найдем его корни:
1) Пусть 
Тогда корни 
– действительные отрицательные числа. Общее решение выражается через показательные функции:
(2)
Из этой формулы следует, что отклонение 
при любых начальных условиях асимптотически стремится к нулю, если 
В данном случае колебаний не будет, так как силы сопротивления велики по сравнению с коэффициентом жесткости рессоры 
2) Пусть 
тогда корни равны между собой (и равны отрицательному числу 
). Поэтому общее решение будет
(3)
Здесь отклонение также стремится к нулю при 
, однако не так быстро, как в предыдущем случае (благодаря наличию сомножителя 
).
3) Пусть 
то есть отсутствует сила сопротивления. Уравнение (1) примет вид
(4)
аракткристическое уравнение имеет вид 
а его корни равны 
Общее решение
(5)
В последней формуле произвольные постоянные 
заменим другими. Именно, введем постоянные 
связанные с соотношениями
, 
.
через определяются так:
, 
.
Подставляя значения в формулу (5), будем иметь
Или
(6)
Колебания в этом случае называются гармоническими. Интегральными кривыми являются синусоиды. Промежуток времени 
, за который аргумент синуса изменяется на 
, называется периодом колебаний; в данном случае 
Частотой колебания называется число колебаний за время ; в данном случае частота равна 
; 
- величина наибольшего отклонения от положения равновесия – называется амплитудой колебания; 
называется начальной фазой. График функции (6) изображен на рис.6
Рис.6
В электротехнических и других дисциплинах широко используют комплексное и векторное изображения гармонических колебаний.
