Слишком сложно? Тогда запросите консультацию специалиста!
Наша компания занимается тем, что помогает студентам выполнять различные учебные работы на заказ. Вы можете ознакомиться с перечнем выполняемых работ, а так же с их стоимостью на странице с ценами.
К уравнению с разделяющимися переменными приводятся однородные ДУ первого порядка.
Функция y=φ(x,у) называется однородной функцией n-го порядка, если при умножении каждого ее аргумента на произвольный множитель λ вся функция умножится на λn, т.е.
f(λ . x; λ . y)= λn . f(x, y).
Дифференциальное уравнение y’=f(x, y) называетсяоднородным, если функция f(x, y) есть однородная функция нулевого порядка.
Покажем, что однородное ДУ y’=f(x, y) можно записать в виде
Если f(x, y)- функция нулевого порядка, то, по определению, f(x, y)= f(λ . x; λ . y)
Положив 
, получаем:
Однородное уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными при помощи замены переменной (подстановки).
или, что то же самое, y=u 
x.
Действительно, подставив y=ux и y’=u’x+u в уравнение , получаем u’x+u= 
или 
= -u, т.е. уравнение с разделяющимися переменными.
Найдя его общее решение (или общий интеграл), следует заменить в нем u на 
. Получим общее решение (интеграл) исходного уравнения.
Однородное уравнение часто задается в дифференциальной форме:
P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0
Оно будет однородным, если P(x, y) и Q(x, y)- однородные функции одинакового порядка.
Переписав уравнение P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 в виде 
и применив в правой части рассмотренное выше преобразование, получим уравнение .
Линейные уравнения. Уравнения Бернулли.
Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если его можно записать в виде
y’+p(x) y=g(x),
где p(x) и g(x) – заданные функции, в частности – постоянные.
Особенность ДУ y’+p(x) y=g(x): искомая функция y и ее производная y’ входят в уравнение в первой степени, не перемножаясь между собой.
Рассмотрим 2 метода интегрирования ДУ– метод Бернулли и метод Лагранжа.
Метод И.Бернулли
Решение уравнения y’+p(x) y=g(x) ищется в виде произведения двух других функций, т.е. с помощью подстановки y=uv, где u=u(x) и v=v(x) - неизвестные функции от x, причем одна из них произвольна (но не равна 0 - действительно любую функцию y(x) можно записать как
, где 
). Тогда y’=u’ v+u v’. Подставляя выражения y и y’ в уравнение y’+p(x) y=g(x), получаем: u’ v+u v’+p(x) u v=g(x) или
u’ v+u (v’+p(x) v)=g(x).
Подберем функцию v=v(x) так, чтобы выражение в скобках было равно 0, т.е. решим ДУ v’+p(x) v=0.
Итак, 
+p(x) v=0, т.е. 
=-p(x) dx.
Интегрируя, получаем:
Ввиду свободы выбора функции v(x), можно принять с=1.
Отсюда 
Подставляя найденную функцию v в уравнение u’ v+u (v’+p(x) v)=g(x), получаем
u’ 
=g(x).
Получено уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его:
, 
,
Возвращаясь к переменной y, получаем решение
исходного ДУ y’+p(x) y=g(x).
