Слишком сложно? Тогда запросите консультацию специалиста!
Наша компания занимается тем, что помогает студентам выполнять различные учебные работы на заказ. Вы можете ознакомиться с перечнем выполняемых работ, а так же с их стоимостью на странице с ценами.
При решении некоторых практических задач возникает необходимость поиска максимального пути (пути с наибольшей суммой длин дуг). Такая задача сводится к задаче нахождения минимального пути заменой знаков при длинах дуг (в матрице весов C) на противоположные. При этом необходимым является требование отсутствия в ориентированном графе контуров положительной длины.
Пример 3.16.
С помощью модифицированного алгоритма 3.1 найдем максимальный путь из вершины х1 в вершину х3 в графе, изображенном на рис. 3.11.
Рис. 3.11
Шаг 1. Введем число вершин графа n =5. Матрица весов этого графа после замены знаков при длинах дуг на противоположные имеет вид:
C = 
.
Шаг 2. Положим k = 0, l1(0) = 0, l2(0) = l3(0) = l4(0) = l5(0) = 
. Эти значения занесем в первый столбец табл. 3.2.
Шаг 3.
k = 1.
l1(1) = 0.
Равенство (3.1) для k = 1 имеет вид:
li(1) = 
{lj(0) + cji}.
l2(1) = min{l1(0) + c12; l2(0) + c22; l3(0) + c32; l4(0) + c42; l5(0) + c52;} = min{0 – 1; ¥ + ¥; ¥ + ¥; ¥ + ¥; ¥ + ¥} = –1.
l3(1) = min{l1(0) + c13; l2(0) + c23; l3(0) + c33; l4(0) + c43; l5(0) + c53;} = min{0 + ¥ ; ¥ – 8; ¥ + ¥; ¥ – 2; ¥ + ¥} = ¥ .
l4(1) = min{l1(0) + c14; l2(0) + c24; l3(0) + c34; l4(0) + c44; l5(0) + c54;} = min{0 + ¥ ; ¥ – 7; ¥ + ¥; ¥ + ¥; ¥ – 4} = ¥ .
l5(1) = min{l1(0) + c15; l2(0) + c25; l3(0) + c35; l4(0) + c45; l5(0) + c55;} = min{0 – 3; ¥ – 1; ¥ + 5; ¥ + ¥; ¥ + ¥} = –3.
Полученные значения li(1) занесем во второй столбец табл. 3.2. Убеждаемся, что второй столбец, начиная со второго элемента, совпадает с первой строкой матрицы весов, что легко объясняется смыслом величин li(1), которые равны длине минимального пути из первой вершины в i-ую, содержащего не более одной дуги.
k = 2.
l1(2) = 0.
Равенство (3.1) для k = 2 имеет вид:
li(2) = {lj(1) + cji}.
l2(2) = min{0 – 1; –1 + ¥; ¥ + ¥; ¥ + ¥; –3 + ¥} = –1.
l3(2) = min{0 + ¥ ; –1 – 8; ¥ + ¥; ¥ – 2; –3 + ¥} = –9 .
l4(2) = min{0 + ¥ ; –1 – 7; ¥ + ¥; ¥ + ¥; –3 – 4} = –8 .
l5(2) = min{0 – 3; –1 – 1; ¥ + 5; ¥ + ¥; –3 + ¥} = –3.
Полученные значения li(2) занесем в третий столбец табл. 3.2. Величины li(2) равны длине минимального пути из первой вершины в i-ую, содержащего не более двух дуг.
k = 3.
l1(3) = 0.
Равенство (3.1) для k = 3 имеет вид:
li(3) = {lj(2) + cji}.
l2(3) = min{0 – 1; – 1 + ¥; – 9 + ¥; –8 + ¥; – 3 + ¥} = – 1.
l3(3) = min{0 + ¥ ; – 1 – 8; – 9 + ¥; –8 – 2; – 3 + ¥} = – 10 .
l4(3) = min{0 + ¥ ; – 1 – 7; – 9 + ¥; –8 + ¥; – 3 – 4} = – 8 .
l5(3) = min{0 – 3; – 1 – 1; – 9 + 5; –8 + ¥; – 3 + ¥} = – 4.
Полученные значения li(3) занесем в четвертый столбец табл. 3.2. Величины li(3) равны длине минимального пути из первой вершины в i-ую, содержащего не более трех дуг.
k = 4.
l1(4) = 0.
Равенство (3.1) для k = 4 имеет вид:
li(4) = {lj(3) + cji}.
l2(4) = min{0 – 1; – 1 + ¥ ; – 10 + ¥; – 8 + ¥; – 4 + ¥} = – 1.
l3(4) = min{0 + ¥ ; – 1 – 8; – 10 + ¥; – 8 – 2; – 4 + ¥} = – 10 .
l4(4) = min{0 + ¥ ; – 1 – 7; – 10 + ¥; – 8 + ¥; – 4 – 4} = – 8 .
l5(4) = min{0 – 3; – 1 – 1; – 10 + 5; – 8 + ¥; – 4 + ¥} = – 5.
Полученные значения li(4) занесем в пятый столбец табл. 3.2. Величины li(4) равны длине минимального пути из первой вершины в i-ую, содержащего не более четырех дуг.
Таблица 3.2
| i(номер вершины) | li(0) li(1) li(2) li(3) li(4) |
| 0 0 0 0 0 ¥ – 1 – 1 – 1 1 ¥ ¥ – 9 – 10 – 10 ¥ ¥ – 8 – 8 – 8 ¥ – 3 –3 – 4 – 5 |
Заменив в табл. 3.2 отрицательные числа положительными, получим таблицу индексов максимальных путей (табл. 3.3). При этом li(k) определяет длину максимального пути из первой вершины в i-ую, содержащего не более k дуг.
Таблица 3.3
| i(номер вершины) | li(0) li(1) li(2) li(3) li(4) |
| 0 0 0 0 0 ¥ 1 1 1 1 ¥ ¥ 9 10 10 ¥ ¥ 8 8 8 ¥ 3 3 4 5 |
Шаг 5. Восстановление максимального пути производится по тому же правилу, что и для минимального пути.
Длина максимального пути равна 10. Этот путь состоит из трех дуг, т. к. li(3) = li(4) = 10. Поэтому в соотношении (3.2) будет выполнено, начиная с n – 1.
Учитывая это замечание, для последней вершины x3предшествующую ей вершину xrопределим из соотношения (3.2) полученного при s =3:
lr(2) + cr3 = l3(3), (3.7)
xrÎ G-1(x3), где G-1(x3) - прообраз вершины x3.
G-1(x3)= {x2, x4}.
Подставим в (3.7) последовательно r = 2 и r = 4, чтобы определить, для какого r это равенство выполняется:
l2(2) + c23 = 1 + 8 ¹ l3(4) = 10,
l4(2) + c43 = 8 + 2 = l3(4) = 10.
Таким образом, вершиной, предшествующей вершине x3, является вершина x4.
Для вершины x4предшествующая ей вершина xrопределяется из соотношения (3.2) полученного при s =4:
lr(1) + cr4 = l4(2), xrÎ G-1(x4), (3.8)
где G-1(x4) - прообраз вершины x4.
G-1(x4)= {x2, x5}.
Подставим в (3.8) последовательно r = 2, r = 3 и r = 5, чтобы определить, для какого r это равенство выполняется:
l2(1) + c24 = 1 + 7 = l4(3) = 8,
l5(1) + c54 = 3 + 4 ¹ l4(3) = 8,
Таким образом, вершиной, предшествующей вершине x4, является вершина x2.
Для вершины x2предшествующая ей вершина xrопределяется из соотношения (3.2) полученного при s =2:
lr(0) + cr2 = l2(1), xr
G-1(x2), (3.9)
где G-1(x2) - прообраз вершины x2.
G-1(x2)= {x1}.
Подставим в (3.9) r = 1, чтобы определить, выполняется ли это равенство:
l1(1) + c12 = 0 + 1 = l2(1) = 1.
Таким образом, вершиной, предшествующей вершине x2, является вершина x1.
Итак, найден максимальный путь – x1, x2, x4, x3, его длина равна 10.
Услуги
НАШ СЕРВИС
