Слишком сложно? Тогда запросите консультацию специалиста!
Наша компания занимается тем, что помогает студентам выполнять различные учебные работы на заказ. Вы можете ознакомиться с перечнем выполняемых работ, а так же с их стоимостью на странице с ценами.
Рассмотрим Систему Массового Обслуживания следующего вида
| . . . |
| Входной поток |
| Очередь |
| m |
| 1 |
| 2 |
| n |
| 2 |
| 1 |
| Каналы обслуживания |
| Выходной поток |
Здесь:n –число каналов обслуживания, m –максимальная длина очереди.
В любой момент времени t заявка из входного потока либо становится в один из каналов на обслуживание, либо в очередь, если все каналы заняты.
Под состоянием СМО будем понимать k- число заявок, находящихся в ней. Оно будет изменяться от 0, когда заявок в системе нет, до n+m, когда все каналы обслуживаются, и все места в очереди заняты. Подобную СМО можно представить в виде графа состояний, с помощью которого можно записать описывающие его поведение уравнения. Решив их для любого произвольного момента времени t(в частности для стационарного режима t=∞) можно определить значения вероятностей нахождения СМО в одном из состояний Sk
k = 0, n+m t> 0.
Зная их можно определить основные характеристики СМО, такие как:
1. Среднее число занятых каналов обслуживания
2. Средняя длина очереди
3. Вероятность, что поступившее в момент времени tтребование получит отказ
4. Вероятность, что поступившее требование будет обслужено
Аналогично могут быть найдены:
5. Вероятность, что поступившее в систему требование сразу поступит в канал на обслуживание
6. Вероятность, чтотребование попадёт в очередь
ФОРМУЛА ЛИТТЛА
Среди различных математических выражений, позволяющих определять основные характеристики СМО в стационарном режиме,особое место занимает выражение, устанавливающее связь между средним числом заявок, находящихся в системе (обслуживающих или стоящих в очереди), и средним временем пребывания заявки в системе.
Рассмотрим любую СМО – одноканальную, многоканальную, марковскую, не марковскую, с ограниченной или неограниченной очередью – и связанные с нею два потока: поток заявок, приходящих в систему и поток заявок, покидающих систему.
Если в системе установился стационарный режим, то среднее число заявок, прибывающих в СМО за единицу времени равно среднему числу заявок, покидающих её за это же время. То есть оба потока имеют одинаковую интенсивность.
Обозначим: X(t) – число заявок, прибывающих в СМО, до момента t, Y(t) –число заявок покидающих СМО к моменту t. Тогда Z(t) = X(t) – Y(t) - - число заявок находящихся в системе в момент времени t (см рис)
Найдём среднее число заявок, находящихся в системе для некоторого, достаточно большого интервала T:
.
Пренебрегая погрешностью, за счёт отбрасывания части времени обслуживания заявки на конце интервала, можно считать, что суммарное время нахождения всех заявок в системе будет равно:
, где i–все заявки, находящиеся в системе за время T,ti–время пребывания i- й заявки в системе.
С другой стороны, суммарное время нахождения всех заявок в системе равно 
, где tсист= 
есть среднее время между двумя соседними заявками, поступившими в систему.
Подставим значение интеграла в выражение для mсист. Умножив и разделив правую часть полученного выражения наλполучим
.
Здесь λесть среднее число требований, вошедших в систему за единицу времени. Обозначим его в дальнейшем как λсист.Тогдавеличинаλсист*Tесть среднее число заявок, поступивших (вошедших) в систему за время T, а 
есть среднее время пребывания одной заявки в системе.
Подставивtсист в выражение для mсист получим
.
Откуда следует, что среднее время пребывания заявки в системе равно
– Формула Литтла.
Формула Литтла: для любой СМО, при любом характере потока заявок , при любом распределении времени обслуживания , при любой дисциплине обслуживания среднее время пребывания заявки в системеtсист равно среднему числу заявок в системеmсист, деленному на интенсивность потока заявок, поступивших в системуλсист.
Аналогично можно получить формулу Литтла для следующих величин:
Среднее время пребывания заявки в очереди:
= 
.
Среднее время пребывания заявки в канале обслуживания:
= 
,
Т.к. среднее время пребывания требования в канале равно 1/ 
отсюда, с помощью формулы Литтла можно легко получить выражение для среднего числа занятых каналов:
= 
= 
отсюда 
.
Следует отметить, что во всех случаях 
характеризует интенсивность требований, поступивших в систему, в не вообще входной поток заявок.
Если часть требований из потока заявок на входе теряется (например, в системах с отказами), то необходимо скорректировать значение интенсивности требований, подошедших к системе 
,приняв вместо него интенсивность требований, вошедших в систему, т.е 
, где 
- вероятность, что требование поступит в систему (не получит отказ).С учетом сказанного выражение для среднего числа занятых каналов примет вид
(1-Pотк).
