Слишком сложно? Тогда запросите консультацию специалиста!
Наша компания занимается тем, что помогает студентам выполнять различные учебные работы на заказ. Вы можете ознакомиться с перечнем выполняемых работ, а так же с их стоимостью на странице с ценами.
Определение 1. Несобственный интеграл 
называется абсолютно сходящимся интегралом, если сходится интеграл 
.
Теорема 2 (критерий Коши абсолютной сходимости интеграла). Несобственный интеграл абсолютно сходится тогда и только тогда, когда для любого 
существует такое 
, что для всех 
и 
, удовлетворяющих условию 
, 
, выполняется неравенство 
.
Без доказательства.
Теорема 3. Если несобственный интеграл абсолютно сходится, то он сходится.
► Если несобственный интеграл абсолютно сходится, то по теореме 2 для любого существует такое , что для всех и , удовлетворяющих условию , , выполняется неравенство .
Тогда
.
В силу критерия Коши для сходимости интеграла, интеграл сходится. ◄
Замечание. Обратное верно не всегда.
Пример. Исследовать на сходимость интегралы:
1) 
, 2) 
.
Решение. 1. Имеем
.
Поскольку 
и интеграл 
сходится, то интеграл 
абсолютно сходится. Следовательно, интеграл сходится.
2. Из неравенства
следует, что для любого 
выполняется неравенство
.
Интеграл 
расходится.
Интеграл 
сходится, поскольку
и интеграл 
сходится, поскольку 
и интеграл сходящийся, 
. Значит, интеграл расходится.
