Слишком сложно? Тогда запросите консультацию специалиста!
Наша компания занимается тем, что помогает студентам выполнять различные учебные работы на заказ. Вы можете ознакомиться с перечнем выполняемых работ, а так же с их стоимостью на странице с ценами.
Всякое действительное число 
(десятичной системы счисления) можно записать в виде конечной или бесконечной десятичной дроби (в так называемой позиционной записи)
, (2.1)
где 
– десятичные цифры
( 
),
причем 
; « 
» – номер разряда, в котором стоит цифра 
;
разряд « 
» называется старшим разрядом числа , разряд « 
» – младшим разрядом (если дробь конечная) числа .
Единицей « 
»-го разряда (разряда номера « ») называется число 
. Учитывая это, число можно записать в виде позиционного разложения
(2.2)
Пример 2.1. Число 
записать в виде позиционного разложения.
Решение: Имеем
.
В таком разложении каждая цифра числа является множителем перед некоторой степенью десятки: цифра 4 стоит в разряде сотен (старший разряд « »=«2»). Следующая цифра 3 стоит в разряде десятков (разряд «1»), цифра 5 – в разряде единиц (разряд «0»), цифра 7 – в разряде десятых (разряд «–1») и так далее. Последняя цифра 8 стоит в младшем разряде « »=«–4».
Пример 2.2. Число 
записать в виде позиционного разложения.
Решение: Имеем
= 
;
старший разряд « »=«0», младшего разряда нет (дробь бесконечная).
Определение 2.1. Первая слева, отличная от нуля цифра числа , и все расположенные справа от нее цифры (в том числе и нули), называются значащими.
Если в числе есть нули, стоящие до первой ненулевой цифры, то они не являются значащими.
Пример 2.3. В ниже следующих числах подчеркнуты значащие цифры:
, 
, 
.
Определение 2.2. Значащая цифра 
числа – верная, если предельная абсолютная погрешность 
этого числа не превосходит половины единицы « »-го разряда (разряда номера « »), то есть
. (2.3)
Пример 2.4. Найти верные цифры в приближенном числе для точного числа 
.
Решение: Имеем по условию 
, =0,026. Так как
=0,026 
,
то из неравенства (2.3) следует, что « »=«–1». А это означает, что верной цифрой будет являться цифра, имеющая разряд «–1» (разряд десятых), то есть цифра 3. Верными также будут цифры 7 и 2 (стоящие левее тройки), так как для них выполняется неравенство (2.3):
для цифры 
, «s»=«1» (разряд десятков):
=0,026 
(верно),
для цифры 
, «s»=«0» (разряд единиц): =0,026 
(верно).
Цифры 5, 6 не будут являться верными. Например, для цифры 5 имеем
, «s»=«–2» (разряд сотых): =0,026 
(неверно).
Итак, все значащие цифры, стоящие левее верной цифры, также являются верными. Цифра, стоящая правее какой-то верной цифры, не всегда является верной.
В теории погрешности нельзя, вообще говоря, откидывать значащие нули и тем более нельзя откидывать верные нули.
Принято считать следующее: если указано, что все значащие цифры числа верные, то предельная абсолютная погрешность равна половине единицы младшего разряда « » в его позиционной форме записи:
. (2.4)
Пример 2.5. Известно, что в числах 
, 
все цифры верные. Найти для них предельные абсолютные, относительные погрешности.
Решение:
1) Так как в числе все цифры верные, то согласно (2.4) 
(последняя цифра 7 имеет младший разряд « »=«–3»). Соответственно 
.
2) Для числа младший разряд « »=«–1», то есть 
. Тогда 
0,00012 = 0,012%.
Если число записано без погрешностей, то полагают, что все его значащие цифры верные (тогда практически задача нахождения 
не вызывает труда).
При многих вычислениях получаются результаты с большим числом значащих цифр. Тогда в зависимости от задачи целесообразно некоторые из них отбросить – округлить число. На практике обычно пользуются правилами округления чисел:
О.1) если первая отбрасываемая цифра меньше пяти, то последняя сохраняемая цифра не изменяется;
О.2) если первая отбрасываемая цифра больше или равна пяти и после нее есть ненулевые цифры, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу;
О.3) если первая отбрасываемая цифра равна пяти и после нее нет ненулевых цифр, то последняя сохраняемая цифра не изменяется, если она – четная, и увеличивается на единицу, если она – нечетная (правило четной цифры).
Покажем применимость сначала правила О.3. Пусть 
. Округление до сотых (то есть с сохранением первых двух цифр после запятой) дает результат 
(первая отбрасываемая цифра 5, после нее стоят три нуля, первая сохраняемая цифра 2 не меняется, так как она четная). Если 
, то округление до десятых дает 
.
Пример 2.6. Округлить число 
до каждого разряда.
Решение: Округление числа удобнее оформить следующим образом:
| Результат округления | Правило | Комментарии к правилу |
до десятков 
|
О.2 | первая отбрасываемая цифра 6 (больше 5) |
до единиц  = 16 |
О.1 | первая отбрасываемая цифра 2 (меньше 5) |
| до десятых = 16,3 |
О.2 | первая отбрасываемая цифра 5, после нее есть ненулевые цифры |
| до сотых = 16,25 |
О.1 | первая отбрасываемая цифра 0 (меньше 5) |
| до тысячных = 16,250 |
О.1 | первая отбрасываемая цифра 0 (меньше 5) |
|
= 16,2501 |
О.2 | первая отбрасываемая цифра 7 (больше 5) |
|
= 16,25008 |
О.2 | первая отбрасываемая цифра 8 (больше 5) |
|
= 16,250078 |
О.3 | первая отбрасываемая цифра 5, после нее стоят только нули, первая сохраняемая цифра 8 не меняется, так как она четная |
|
= 16,2500785 |
О.1 | первая отбрасываемая цифра 0 (меньше 5) |
При округлении приближенного числа предельная абсолютная погрешность 
результата (округленного числа) складывается из предельной абсолютной погрешности исходного числа и погрешности округления 
, то есть
. (2.5)
Пример 2.7. Округлить число 
( =0,0036) до числа , оставив в нем только верные цифры. Найти .
Решение:
1) Так как =0,0036 
, то в числе верными будут цифры 7, 2, 4, 5 (последняя цифра 7 не является верной): 
. Сначала округляем число , сохраняя при этом верные цифры (то есть до сотых), откидывая последнюю цифру 7: 
. Считаем погрешность округления и общую погрешность 
полученного числа :
,
.
2) На этот раз 
, то есть в числе верными будут первые три цифры: 
. Округляем число , сохраняя верные цифры (то есть до десятых): 
. Снова считаем погрешность округления и общую погрешность 
,
.
3) Так как 
, то теперь в числе все цифры верные. Тогда 
, 
.
Ответ: 
, 
.
