Слишком сложно? Тогда запросите консультацию специалиста!
Наша компания занимается тем, что помогает студентам выполнять различные учебные работы на заказ. Вы можете ознакомиться с перечнем выполняемых работ, а так же с их стоимостью на странице с ценами.
Пусть функции f(x1, x2, … , xn) и Fi(x1, x2, … , xn) (i = 1,2, … ,k) дифференцируемы в некоторой области D М Rn . Тогда задача отыскания точек условного экстремума функции f(x1, x2, … , xn) при условиях связи
|
эквивалентна задаче о нахождении точек обычного (безусловного) экстремума функции Лагранжа:
|
| (4) |
Схема метода Лагранжа:
1. Составляем функцию Лагранжа (4).
2. Для отыскания стационарных точек функции Лагранжа находим ее частные производные по всем аргументам
 и приравниваем их к нулю. Получаем систему (n + k) уравнений с (n + k) неизвестными:
|
Если (x10,:::,xn0; λ10,:::,λk0) — решение этой системы, то оно определяет стационарную точку (x10,:::,xn0) функции f(x1,x2,:::,xn) при условиях связи (2), в которой функция может иметь условный экстремум.
3. Чтобы установить наличие или отсутствие условного экстремума в каждой стационарной точке M0 , нужно исследовать знак 2–го дифференциала функции Лагранжа
при значениях дифференциалов dx1, … ,dxn , не равных одновременно нулю и удовлетворяющих продифференцированным уравнениям связи
Геометрический смысл условного экстремума функции: Условными экстремумами функции z = f(x,y) при F(x,y) = 0 являются ее экстремумы на линии, образующейся в сечении поверхности z = f(x,y) цилиндрической поверхностью F(x,y) = 0 .
9. Определение двойного интеграла. Его свойства. Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат
Определение:
Двойным интегралом от функции 
по ограниченной замкнутой области 
называется предел интегральной суммы, построенной для функции при неограниченном увеличении числа разбиений области 
на ячейки ( 
) и при стягивание каждой ячейки в точку ( 
), если такой предел существует и не зависит от способа разбиения области на ячейки, ни от выбора 
в каждой из них.
Теорема существования:
Для всякой непрерывной функции в ограниченной замкнутой области существует двойной интеграл: 
Свойства двойного интеграла:
3) Если область разбить линией на две области 
и 
такие, что 
, а пересечение и состоит лишь из линии, их разделяющей, то :
4) Если в области имеет место неравенство 
, то и 
. Если в области функции и 
удовлетворяют неравенству, то и 
6) Если функция непрерывна в замкнутой области , площадь которой 
, то 
, где 
– соответственно наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции в области .
7) Если функция непрерывна в замкнутой области , площадь которой , то в этой области существует такая точка 
, что 
. Величину 
называют средним значением функции 
в области 
Пример вычисления:
Вычислить 
в области , ограниченной кривыми 
и 
.
