Слишком сложно? Тогда запросите консультацию специалиста!
Наша компания занимается тем, что помогает студентам выполнять различные учебные работы на заказ. Вы можете ознакомиться с перечнем выполняемых работ, а так же с их стоимостью на странице с ценами.
1.
Сложение.Так как комплексное число можно интерпретировать как точку на комплексной плоскости, то если
, имеем: 
Например:
(3+2i) + (-4+7i) = (3-4)+(2+7)I = -1+9i.
2.
Умножение.
а). Если числа заданы в алгебраической форме, имеем:
.
Учитывая, что 
, имеем:
.
в). Если числа заданы в комплексной форме 
и 
, то 
.
При доказательстве мы используем формулы синуса суммы и косинуса суммы двух углов ( проделайте самостоятельно).
3.
Деление.
а). Если числа заданы в алгебраической форме, то числитель и знаменатель домножим на сопряженное к знаменателю число, чтобы в знаменателе получилось действительное число. Имеем:
( проделайте вычисления самостоятельно, учитывая равенство ).
в). Если числа заданы в комплексной форме и , то
, если 
.
4.
Возведение в степень.
Формулу произведения двух комплексных чисел можно обобщить на n сомножителей. Отсюда, как частный случай, получается формула:
^ 5. Извлечение корня n-ой степени.
Имеет место формула Муавра:
, где 
.
Таким образом, комплексное число z имеет бесконечно много корней n-ой степени, причем различных корней – ровно n штук. Все корни расположены на окружности радиуса 
в вершинах правильного n-угольника.
Пример 3.
Вычислить 
.
Решение: По формуле Муавра имеем:
, 
При различных значениях n получим все корни комплексного числа. Среди них имеются ровно четыре различных. Их можно получить, подставляя значения n:
При 
имеем: 
.
При 
имеем: 
.
При 
имеем: 
.
При 
имеем: 
.
Все эти корни находятся на окружности радиуса 
в вершинах правильного четырехугольника (квадрата) (см. рис. 3)
Рис. 3.
Пример 4. Вычислить 
. Ответ записать в алгебраической форме.
Решение. Вычислим выражение, стоящее в числителе, результат запишем в тригонометрической форме
Подставим полученное число в числитель и применим формулу деления комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме:
.
Ответ: 
.
Решение уравнений.
1.
Решение рациональных уравнений n-ой степени.
Из основной теоремы алгебры известно, что каждое алгебраическое уравнение степени n имеет во множестве комплексных чисел ровно n корней.
Рассмотрим уравнение
,
где коэффициенты 
(i = 0,1, 2,…,n) – действительные числа. Основной метод решения таких уравнений – разложение на множители. При этом, среди множителей могут быть линейные вида 
и тогда 
является корнем уравнения и квадратичные 
. Решая квадратное уравнение 
, можем получить:
1.
два различных действительных корня, если 
2.
два совпадающих действительных корня, если 
3.
два комплексных (сопряженных) корня, если 
.
Пример 5. Решить уравнение:
Решение.Преобразуем левую часть уравнения для того, чтобы применить метод группировки:
Тогда уравнение примет вид:
или 
или 
.
Учитывая, что 
, получим 
.
Ответ: корни уравнения 
.
2.
Решение уравнений произвольного вида.
Другой способ решения уравнений основывается на том, что если 
, то
Таким образом, необходимо отделить действительные и мнимые части уравнения, приравнять их и решить полученную систему уравнений.
Пример 6. Решить уравнение 
.
Решение.Пусть 
Тогда уравнение имеет вид: 
. Отделив действительные и мнимые части в обеих частях равенства, получим:
Решим уравнение 
Оно эквивалентно совокупности двух систем:
или 
или 
Оба корня 
удовлетворяют условию 
. Возвращаясь к системе, получим: 
или 
. Вспоминая, что 
, получим ответ.
Ответ: 
.
