Слишком сложно? Тогда запросите консультацию специалиста!
Наша компания занимается тем, что помогает студентам выполнять различные учебные работы на заказ. Вы можете ознакомиться с перечнем выполняемых работ, а так же с их стоимостью на странице с ценами.
Рассмотрим систему, на которую действует квазиупругая сила F = –kx. Для того чтобы сообщить системе смещение х, нужно совершить против квазиупругой силы работу
Эта работа идет на создание запаса потенциальной энергии системы. Следовательно, система, в которой действует квазиупругая сила, при смещении из положения равновесия на расстояние х обладает потенциальной энергией
. (144)
Потенциальную энергию в положении равновесия полагаем равной нулю.
Если k – коэффициент жесткости пружины, то формула (144) будет выражать потенциальную энергию сжатой пружины.
Квазиупругая сила является консервативной, поэтому полная энергия гармонического колебания должна оставаться постоянной. В процессе колебаний происходит превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно, причем в моменты наибольшего отклонения из положения равновесия полная энергия Е состоит только из потенциальной энергии, которая достигает своего наибольшего значения (144) при
x = xmax.
При прохождении системы через положение равновесия полная энергия состоит лишь из кинетической энергии, которая в эти моменты достигает своего наибольшего значения. Согласно (127), амплитуда скорости равна Aω. Отсюда максимальное значение кинетической энергии:
. (145)
Т. к. k = ω2m, а при максимальном отклонении x = A, то получается, что максимальное значение кинетической энергии равно максимальному значению потенциальной энергии.
Выясним, как изменяется со временем кинетическая Ekи потенциальная Ep энергия гармонического колебания. Кинетическая энергия равна:
(146)
Потенциальная энергия выражается формулой
(147)
Складывая (146) и (147), учитывая, что k = ω2m , получим выражение для полной энергии гармонических колебаний:
. (148)
Таким образом, полная энергия гармонических колебаний действительно оказывается постоянной.
Используя известные формулы тригонометрии, выражениям для Ek и Ep можно придать вид:
, (149)
, (150)
где Е – полная энергия системы. Из формул (149) и (150) видно, что Еk и Еризменяются с частотой 2ω, т. е. с частотой, в 2 раза превышающей частоту гармонического колебания.
На рис. 51 сопоставлены графики для х, Ek и Ер.
Среднее значение квадрата синуса и квадрата косинуса равно 1/2. Следовательно, среднее значение Ekсовпадает со средним значением Ер и равно E/2.
Рис. 51.
Изменение кинетической и потенциальной энергии гармонического колебания
