Слишком сложно? Тогда запросите консультацию специалиста!
Наша компания занимается тем, что помогает студентам выполнять различные учебные работы на заказ. Вы можете ознакомиться с перечнем выполняемых работ, а так же с их стоимостью на странице с ценами.
Розглянемо функцію 
дійсної змінної 
, яка відповідає таким умовам:
1. При 
.
2. При 
функція на будь-якому скінченному проміжку вісі має не більше ніж скінченну кількість точок розриву першого роду.
3. При 
функція має обмежену степінь зростання, тобто існують такі додатні константи 
та 
, що для всіх 
.
Інтегральне перетворення Лапласа ставить у відповідність такій функції
функцію 
комплексної змінної 
за допомогою співвідношення
.
Функція називається зображенням Лапласа функції , а функція – оригіналом функції . Зв’язок між функціями та будемо символічно позначати таким чином:
.
Основні властивості інтегрального перетворення Лапласа.
1.Лінійність зображення 
.
2.Теорема подібності 
.
3.Диференціювання оригіналу 
;
.
4.Диференціювання зображення 
.
5.Інтегрування оригіналу 
6.Інтегрування зображення 
.
7.Теорема спізнення 
.
8.Теорема зміщення 
9.Теорема множення (теорема Бореля) 
.
Зображення Лапласа деяких функцій
Перетворення Лапласа застосовується для функцій, які при від’ємному значенні аргумента дорівнюють нулю. Такі функції можуть бути записані у вигляді 
, де 
– функція Хевісайда, а 
– деяка функція. У подальшому будемо у більшості випадків випускати множник 
, маючи на увазі його наявність.
Наведемо зображення Лапласа функцій, які найчастіше зустрічаються при розв’язуванні нескладних задач.
; 
;
; 
;
; 
;
; 
.
Існують спеціальні таблиці зображень елементарних та спеціальних функцій, які наведені у посібниках з інтегральних перетворень та довідниках .
Якщо функція є кусочно неперервною, наприклад, має вигляд 
, її можна записати за допомогою функції Хевісайда у вигляді 
, або 
. Тоді відповідне зображення має вигляд 
. Зокрема, зображенням функції 
буде 
.
