Слишком сложно? Тогда запросите консультацию специалиста!
Наша компания занимается тем, что помогает студентам выполнять различные учебные работы на заказ. Вы можете ознакомиться с перечнем выполняемых работ, а так же с их стоимостью на странице с ценами.
Вычисление определенных интегралов
Общие сведения
Задача численного интегрирования функции заключается в вычислении значения определенных интегралов на основании ряда значений подынтегральной функции f(x) в точках x0, x1,… xn–1, xn, которые называются узлами интерполяции. Если f(xi) – значения подынтегральной функции в узлах интерполяции, то
. (1)
Сумма, стоящая в правой части выражения (1), называется квадратурной суммой, а само выражение вида (1) – формулой механических квадратур. Для построения квадратурных сумм заданную функцию f(x)заменяют интерполирующим полиномом Pn(x) степени не выше n и принимающим в узлах интерполяции те же значения, что и f(x), т.е.
Pn(x0)= f(x0)=y0, Pn(x1)= f(x1)=y1,…Pn(xn)= f(xn)=yn. (2)
В качестве интерполирующих полиномов чаще всего выбираются полиномы Лагранжа и Лежандра.
Квадратурные формулы Ньютона – Котеса
Эти формулы относятся к случаю равноотстоящих узлов интерполяции, т.е при выбранном шаге интерполяции h=(b–a)/n, отрезок [a, b] разбивается с помощью равноотстоящих точек x0=a, xi=x0+ih, (i=1,….,n–1), xn=b на n равных частей.
В качестве интерполирующего полинома берется полином Лагранжа. Квадратурная формула (4.1) при этом принимает вид
, (3)
где 
(4)
– постоянные, называемые коэффициентами Котеса.
Нетрудно убедиться, что
Формула трапеций
При n=1 из (4) имеем: H0 =1/2, H1=1/2.
Отсюда:
. (5)
Выражение (5) – это хорошо известная формула трапецийдля приближенного вычисления определенного интеграла.
Если отрезок интегрирования [a, b] достаточно большой, то для вычисления интеграла 
необходимо промежуток интегрирования разделить на k равных частей [x0, x1], [x1, x2],…., [xk-1, xk] и к каждой из них применить формулу трапеций. Введя обозначение f(xi)=yi, получим
, (6)
где h=(b–a)/(k·n). (7)
Геометрически формула (6) получается в результате замены графика подынтегральной функции ломаной линией.
Формула Симпсона
При n=2 из (4) получим: H0= 1/6, H1=2/3, H2=1/6.
Так как x2–x0 =2h, то
. (8)
Формула (8) носит название формулы Симпсона. Геометрически эта формула получается заменой кривой f(x) параболой , проходящей через три точки f(x0), f(x1) и f(x2).
Для вычисления интеграла , как и в случае формулы трапеции, промежуток интегрирования [a, b] разбивается на k равных частей и к каждой из этих частей применяется формула Симпсона, т.е. фактически число разбиений равно n·k=2k. Таким образом, в методе Симпсона число разбиений должно быть четным. В результате получим:
(9)
где yi=f(xi), i=0, 1,…, 2k, h = (b–a)/2k.
