Слишком сложно? Тогда запросите консультацию специалиста!
Наша компания занимается тем, что помогает студентам выполнять различные учебные работы на заказ. Вы можете ознакомиться с перечнем выполняемых работ, а так же с их стоимостью на странице с ценами.
А0: "g, f ÎG g◦f ÎG;
А1: f◦(g◦h)=(f◦g)◦h;
A2: $ e: "gÎG g◦e=e◦g=g;
A3: "gÎG $g-1: g◦g-1 = g-1◦g= e.
Свойство: единственность обратного элемента.
Теорема. Пусть G = {e, g, h,…}. Тогда fG F {f, f◦g, f◦h…} = Gf = G–1 F {e, g–1,…}
Теорема. В группе выполняются следующие соотношения:
ê (а◦b)-1 = b-1◦a-1;
ê а◦b = a◦c → b = c;
ê b◦а = c◦a→ b=c;
ê (а-1)-1=а.
Следствие: в группе всегда существует и единственно решение уравнения: а◦х=b. Решение: x=a-1◦b.
ê Группа, в которой операция коммутативна, называется коммутативной или абелевой.
ê <¢; +> – аддитивная группа целых чисел по сложению. Сложение коммутативно и ассоциативно. Обратным элементом к а является –а.
2. «Происхождение» групп». Галуа, Абель…
1) Группы симметрий многоугольников и многогранников – повторное применение двух преобразований есть снова симметрия. Кристаллографические группы. Практический пример – огранка алмазов.
2) Замена координат (поворот) на плоскости – матрица О2 = 
. Обобщение – матрицы n‰n. Тождественному преобразованию соответствует единичная матрица. Существование обратного преобразования (условие группы) ™ матрица должна быть невырожденной.
3. Параметрические группы (группы Ли).
1) GL(¡,n), GL(£,n). – Число параметров – n2 – действительных или комплексных. SL(¡,n), SL(£,n) – специальные. Общая замена координат в n–мерном пространстве или действие (невырожденного) линейного оператора на вектор.
2) O(n) – ортогональная группа (вращений) n–мерного пространства – группа матриц. При вращениях сохраняются длины векторов – и, более того, углы между векторами – следовательно, сохраняется скалярное произведение векторов, что приводит к равенству 
. — Группа вращений евклидового пространства. Определитель матрицы равен ±1 – выделяют собственные преобразования.
3) Симплектическая группа – применяется, в частности, в классической механике.
Сохранение фазового потока.
4) Унитарные группы (S)U(n) – сохраняют билинейную форму.
Условие унитарности: 
. Физика.
5) Разбор групп O(2), U(1). Унитарная группа – умножение комплексных чисел, по модулю равных единице. Изоморфизм.
6) Сравнение групп О(3) и SU(2).
