Слишком сложно? Тогда запросите консультацию специалиста!
Наша компания занимается тем, что помогает студентам выполнять различные учебные работы на заказ. Вы можете ознакомиться с перечнем выполняемых работ, а так же с их стоимостью на странице с ценами.
Задача 1.
1.Величина z називається функцією двох змінних х і у, якщо кожній впорядкованій парі (х, у) значень двох незалежних одна від одної змінних х і у з деякої області Dплощини Оху відповідає єдине значення величини z.
Позначається функція двох змінних z = f (х,у), або z = F (х,у), або z = z(х,у).
2.Множина D всіх точок (х, у), при яких z = f (х, у) має сенс, називається областю визначення функції, а множина значень z, що приймає функція при (х,у) 
D, називається множиною значень функції.
Задача 2.
1.Розглянемо функцію двох змінних z = f (х, у). Позначимо приріст функції по змінній х при фіксованому значенні у, як Δхz = f (х + Δх, у) – f (х, у), де Δх – приріст х. Аналогічно, Δуz = f (х, у + Δу) – f (х, у), де Δу – приріст у.
2.Частинною похідною по х від функції z = f (х, у) називається границя відношення приросту функції по х Δхz до приросту змінної х, якщо останній прямує до нуля:
.
3.Частинна похідна від функції z = f (х, у) по у визначається аналогічно:
.
4.Частинну похідну по х позначають: 
, 
, 
, 
, 
.Частинну похідну по у можна позначити 
, 
, 
, 
, 
.
5.При обчисленні похідної по змінній у постійною вважається х. Саме обчислення здійснюється за тими ж правилами і формулами, що і у функції однієї
змінної (див. частину 1 даних вказівок).
6.Щоб довести дану в задачі рівність треба обчислити частинні похідні від функції z = f (х, у). Потім підставити знайдені похідні в рівняння і виконати всі можливі тотожні перетворення. В результаті маємо отримати вірну рівність.
Задача 3.
1.Точка М0 (x0; y0) називається точкою екстремуму (максимуму чи мінімуму) функції z = f (х; у), якщо f(x0; y0) є відповідно найбільше чи найменше значення функції f (х; у) в деякому околі точки М0 (x0; y0): f (x0; y0) >f (х; у) чиf (x0; y0) <<f (х; у) в усіх точках М (х; у) ≠ М0 (x0; y0) з деякого околу точки М0.
2.Значення f (x0; y0) називається максимальним (або мінімальним) значенням функції.
3.Необхідна умова екстремуму.Якщо в точці М0 (x0; y0) диференційована функція z = f (х; у) має екстремум, то її частинні похідні в цій точці дорівнюють нулю:
і 
.
Точка М0 (x0; y0), в якій обидві частинні похідні дорівнюють нулю, називається стаціонарною.
4.Якщо функція z = f (х, у) має частинні похідні і , то вони в загальному випадку також є функціями двох змінних. Частинні похідні від цих функцій називаються другими частинними похідними від функції z = f (х, у) і позначаються так:
, 
, 
, 
.
Похідні 
та 
називаються мішаними.
5.Достатня умова екстремуму. Нехай точка М0 (x0; y0) є стаціонарною точкою функції z = f (х; у). Позначимо
, 
, 
.
Якщо АС – В2> 0 і А< 0, то М0 (x0; y0) – точка максимуму.
Якщо АС – В2> 0 і А> 0, то М0 (x0; y0) – точка мінімуму.
Якщо АС – В2< 0, то М0 (x0; y0) не є точкою екстремуму.
Якщо АС – В2 = 0, то необхідне додаткове дослідження.
6.Щоб знайти екстремум функції двох змінних z = f (х; у) треба:
– знайти область визначення функції;
–знайти частинні похідні і прирівняти їх до нуля;
– скласти з отриманих рівнянь систему і розв’язати її; знайдені точки є стаціонарними;
– обчислити частинні похідні другого порядку від функції z = f (х; у);
– знайти значення А, В, С в кожній із стаціонарних точок;
– знайти величинуАС – В2і зробити висновок;
– якщо в досліджуваній стаціонарній точці є екстремум, то підставити координати точки в функцію z = f (х; у). Знайдене значення буде максимальним (або мінімальним) значенням функції.
Задача 4.
1.Градієнтом функції z = f (х; у) називається вектор, координатами якого є частинні похідні цієї функції
.
2.Градієнт функції вказує напрямок, в якому функція зростає скоріше за всі інші напрямки.
3. Щоб знайти градієнт функції в точці М треба її координати підставити замість х та у відповідно у вираз для градієнта.
Задача 5.
1.Якщо задана функція z = f (х; у) і напрямок 
, то границя відношення приросту функції Δf до Δρ при Δρ → 0 називається похідною функції за напрямком і позначається
,
де 
, Δх,Δу – приріст аргументів х та у відповідно вздовж напрямку .
2.Величина похідної за напрямком визначає швидкість зміни функції в цьому напрямку. Знак похідної – характер зміни. Якщо 
> 0, то функція зростає у напрямку , якщо < 0, то функція спадає за цим напрямком.
3.Якщо функція f (х; у) диференційована, то її похідна за довільним напрямком існує і дорівнює
,
де 
– орт напрямку .
4.Щоб знайти похідну функції z = f (х; у) за напрямком вектора 
треба:
– знайти частинні похідні функції;
– знайти напрямні косинуси вектора ;
– скористатися формулою для обчислення похідної за напрямом.
5.Щоб знайти похідну функції z = f (х; у) в точці М за напрямом даного вектора , треба підставити координати точки у вираз, що одержано в п. 4.
.
