Слишком сложно? Тогда запросите консультацию специалиста!
Наша компания занимается тем, что помогает студентам выполнять различные учебные работы на заказ. Вы можете ознакомиться с перечнем выполняемых работ, а так же с их стоимостью на странице с ценами.
Другие же последовательно решают A-задачи и иногда через короткое время отвергают B-задачи со словами: «Этого я не могу сделать, я не знаю, чему равна площадь», или даже: «Я не знаю, какова площадь этих небольших остаточных элементов». В отличие от этих случаев в A-случаях площадь остатков, как правило, не упоминается; или же ребенок говорит: «Я, конечно, не знаю
площади этих маленьких фигур, но, поскольку они равны, это не имеет значения».
Рис. 10
7. В приводимых здесь фигурах A-фигуры, если рассматривать их по частям, сильнее отличаются от первоначальной фигуры, чем B-фигуры. Поэтому простая ссылка на «знакомость», очевидно, не может служить объяснением позитивных реакций — решения в A-случаях и отказа от решения в B-случаях.
Наши наблюдения в опытах с А — B-парами уже содержали примеры экспериментального анализа. Хотя задача кажется достаточно простой, на классных занятиях иногда встречаешься с глупыми ответами.
8. На следующем этапе экспериментального анализа вместо одной фигуры давались два подвижных твердых тела. Они могли быть отделены или примыкать друг к другу в различных положениях:
А
Рис. 11
И в этом случае возможны — и иногда встречаются глупые ответы.
9. Для того чтобы уяснить возникающие здесь теоретические вопросы, полезно рассмотреть крайние случаи. Рассмотрим следующую глупую реакцию.
Рис. 12 Рис. 13
Ученика учат доказательству теоремы о площади параллелограмма с помощью фигуры, начерченной на миллиметровой бумаге. Проводятся дополнительные линии. Сторона а оказывается равной 5 дюймам, длина отрезка с равна 3 дюймам.
Учитель говорит: «Посмотри! Из каждого верхнего угла я опускаю перпендикуляр длиной в 4 дюйма; я продолжаю линию основания вправо на 3 дюйма, ты можешь ее измерить».
Через некоторое время дается другой пример — параллелограмм с другими размерами. Допустим, что ученик отвлекся, возможно, на экспериментатора, или подумал о предстоящей игре или о том, где сейчас находится его мама; допустим, что он повторяет про себя: «Четыре дюйма вниз, три дюйма вправо» — и робко чертит фигуру, показанную на рис. 13.
Когда его спрашивают, удалось ли ему достигнуть цели— определить площадь, он отвечает: «Нет», но пока что не может продвинуться дальше. Сам я не сталкивался с таким ответом, но он вполне возможен. Как известно учителям, так происходит в случаях более сложных структур.
Очевидно, что это крайний случай B-реакцпи — слепое, игнорирующее контекст подражание тому, что делал учитель. Каждому понятно, чем плохо такое подражание. Но что оно означает с теоретической точки зрения? Можно сказать: «Этот ребенок не смог должным образом при-
менить выученный материал к новой ситуации». Но что значит применить «должным образом»?
Или можно сказать: «Ясно, что в этом случае отсутствует обобщение» — и покончить с проблемой как с решенной. Но решена ли она действительно? А как быть с глупыми обобщениями, которые остаются тем не менее обобщениями? А что если ребенок обобщит описанный выше пример так (правда, я не встречал таких случаев): «Перпендикуляры должны быть на один дюйм длиннее продолжения основания», или: «Длина перпендикуляра должна выражаться четным числом» и т. д. — и что если он будет соответствующим образом действовать?
Признание того, что здесь имеет место обобщение, не означает решения проблемы. Конечно, здесь имеет место обобщение, но оно происходит в обоих случаях. Часто указание на обобщение не является ответом на вопрос, скорее оно скрывает проблему.
10. Что же действительно происходит в А — В-реакциях, в А — B-случаях? Я получил характерные данные: встречаются разумные реакции, когда испытуемый отказывается слепо применять заученный материал к B-проблемам и находит разумные, правильные решения в A-случаях, меняя обычную процедуру, как того требует здравый смысл. И встречаются слепые реакции, когда испытуемые не могут решить А- или B-задачу или тупо применяют заученные приемы 1.
Если испытуемый применяет заученный прием к ва-
1 В действительности бессмысленные построения в примерах, приведенных на с. 47, встречаются сравнительно редко. Дети со спонтанной естественной установкой не склонны вести себя подобным образом. Привычка к бездумному подражанию, развиваемая в некоторых школах благодаря упору на слепое натаскивание, по-видимому, способствует таким реакциям; то же можно сказать о ситуациях, когда такую установку создают рассеянность, отвлекаемость или другие индивидуальные особенности. В школах, ориентируемых на механические упражнения, часто формируется установка при столкновении с новой задачей ждать, что покажут готовое решение; когда ученика просят попробовать решить задачу самостоятельно, часто сталкиваются лишь с пассивным отказом: «Мы этого не проходили».
То, что психолог испытывал какое-то беспокойство на уроке (см. с. 42), означает, что он почувствовал эту атмосферу натаскивания, царящую в классе. Описанное нами поведение, по-видимому, тесно связано с установкой на повторение, на слепое подражание учителю: обычно маленьких детей не слишком смущает простран-
риации первоначальной задачи, не сознавая, что в данном случае он неуместен, то это свидетельствует о непонимании самого приема или о неспособности понять, что является существенным в измененной задаче. Но если он адекватно и последовательно ведет себя в A-случаях, даже когда отдельные части измененной задачи сильно отличаются от первоначальной, и если он в то же время отказывается применять заученный прием к более близким B-вариациям, то это значит, что он действительно понял задачу. Таким образом, А — B-вариации при систематическом исследовании могут служить основой «операционального определения» понимания. И с помощью А — В-метода в ходе экспериментального анализа могут быть исследованы различные структурные факторы.
В чем состоит основное различие между этими двумя типами реакций на вариации? В чем с психологической точки зрения заключается проблема? Как испытуемый ищет A-решения? Каким образом он различает А- и B-процедуры?
Во-первых, можно сказать: «Различие очевидно. B-реакции в отличие от А -реакций не ведут к правильному решению». Но это утверждение лишь ставит проблему, а не решает ее.
Во-вторых: «Решающее значение имеет степень сходства с первоначальной задачей». Нет. Сходство действительно играет роль. Но какое сходство? Если рассматривать отдельные части, то окажется, что B-случаи часто ближе к первоначальной задаче, чем A-случаи.
В-третьих: объясняется ли суть дела «обобщением»? Нет. Конечно, во всех этих случаях имеет место обобщение, но, как было уже сказано, с глупой B-реакцией может быть связана такая же степень обобщения, как и с A-реакцией. Таким образом, обобщение само по себе ничего не объясняет. Ссылка на обобщение может, конечно, оказаться полезной, если мы будем говорить о «правиль-
ственное расположение фигур (см.: Stern W. Über verlagerte Raumformen. — "Zeitschrift für Angewandte Psychologie", 1909, Vol. 2, S. 498-526).
Встречаются и взрослые, которые в дальнейшей жизни сохраняют приобретенную привычку к слепым, механическим действиям. Удивительно, как образованные и в других отношениях вполне разумные люди иногда ведут себя в сходных ситуациях, особенно в случае «Einstellung» (установка), (см. главу 4, раздел 3, а также главу 6 и приложения 2, 3 и 4).
но выбранном обобщении». Но что мы должны понимать под этим уточнением? То, что оно ведет к решению? Это опять напоминает первое утверждение.
В-четвертых, положение дел не изменится, если сказать (правильно), что различные A-случаи характеризуются тем, что «схватываются» существенные отношения, схватывается то, что действительно релевантно. Но что означает такое «схватывание»? Что такое «существенные элементы»? Как определить, что существенно, а что нет? Только по результату?
Теоретические предположения 2, 3 и 4 не позволяют удовлетворительным образом дифференцировать А- и B-реакции. Только первое предположение дифференцирует случаи, но лишь по результату. Ни одно из этих предположений само по себе не ведет к психологическому пониманию.
Я предлагаю читателю подумать над этим. Не удовлетворяйтесь поверхностными решениями. Я думаю, что если вы непредубежденно рассмотрите эти примеры, то найдете ответ. Возможно, он будет вертеться у вас на кончике языка, а вы не сможете выразить его никакими словами. Здесь я прерву свой анализ и вернусь к нему несколько позднее.
II
11. Под влиянием сильного впечатления от странного поведения некоторых школьников психолог снова приступает к более тщательному рассмотрению проблемы.
Как и в описанном случае, я часто удивлялся поведению некоторых классов во время урока. Обычно ученики покорно следят за этапами доказательства, которое демонстрирует им учитель. Они повторяют, заучивают их. Создается впечатление, что идет «обучение». Ученики обучаются? Да. Мыслят? Возможно. И в самом деле понимают? Нет.
Для прояснения дела была попробована следующая экспериментальная процедура.
Сейчас я скажу нечто странное, даже дикое. Видите ли, по теоретическим основаниям психолог вынужден иногда применять методы, которые для него самого не являются приятными.
Вместо того чтобы воспользоваться обычным разумным методом определения площади параллелограмма, учени-
кам говорят: «Для определения площади параллелограмма следует измерить стороны — назовем их а и £ тить на основании точку, расположенную прямо под верхним левым углом; затем измерить расстояние между левой
Рис. 14
| вершиной и этой точкой — назовем его с. На нашем чертеже а = 5 дюймов, b = 9 дюймов, с = 3 дюйма. Теперь сложите а и с! (а+с... 5+3 = 8) |
Вычтите с из а! (а — с...5-3=2). Перемножьте результаты! (...8X2=16)
Из произведения извлеките квадратный корень! Вы учили, как это делать (... √ 16=4)
Умножьте результат на b, и вы получите площадь... (... 4X9=36)
___________
Формула площади параллелограмма b√(a+c) (а—с)».
Процедура уродлива и никогда не придет в голову разумному учителю или математику. Это психологу потребовалось ввести такой громоздкий, некрасивый и бессмысленный метод. Но он ведет к правильному результату.
Обычно такая процедура кажется детям странной неестественной, — нельзя не заметить, что они время от времени выключаются из работы. По окончании доказательства одни смотрят на учителя с плохо скрываемым презрением. Другие сбиты с толку или смеются.
Важно то, что в некоторых школах нельзя обнаружить существенной разницы между реакцией учеников на такое доказательство и реакцией на разумный метод. Если вы обнаружите, что ученики покорно проглатывают такую процедуру и никак не реагируют на нее, обратите внимание на характер их обучения! Думаю, что в нем есть что-то порочное. И я надеюсь, что если вы проделаете такого рода опыты, ваши ученики громко рассмеются или по крайней мере будут весьма смущены. В таких случая) особенно трогательно видеть, с каким упорством, с какой готовностью ученики иногда стремятся повторять слова учителя, как гордятся, если им удается точно воспроизвести заученное, решить задачу именно тем способом, которому их учили. Для многих в этом и состоит преподава-
ние и обучение. Преподаватель учит «правильной» процедуре. Ученики заучивают ее и могут применить ее в рутинных случаях. Вот и все.
Пусть читатель задумается, не учили ли и его самого в школе таким же образом. Разве не таким способом вас обучали дифференциальному и интегральному исчислению? Или даже теоремам планиметрии и стереометрии? Конечно, у вас были веские основания считать, что учитель обучает вас разумным, серьезным вещам, которые необходимо знать. Да и что бы вы могли сделать, как не подчиниться и покорно следить за шагами доказательства учителя, если не понимали, почему он предпринимает именно этот, а не иной шаг? Помогало ли вам покорное следование за учителем, когда вы сбивались с пути?
Полагаю, вы согласитесь, что не помогало. Я не удивлюсь, если вы добавите, что, раз учитель действовал таким образом, значит, он, очевидно, действовал правильно, что, вероятно, не было другого пути. Или вы можете возразить: «Нельзя сравнивать этот дикий пример с обычным обучением, в ходе которого учитель излагает разумные вещи и их доказательства».
Ваше последнее замечание совершенно справедливо. В нашем примере не хватает доказательства — этого упущения, между прочим, некоторые ученики не замечают. Для того чтобы прийти к правильному решению, нам нужен пример, включающий доказательство. Мы рассмотрим этот вопрос в пункте 17.
12. Но давайте сначала закончим наш рассказ. Я спросил у класса: «Уверены ли вы в том, что этот результат действительно правилен?» Большинство учеников были просто ошеломлены этим вопросом, удивлены, что он может быть задан. Их позиция была ясна: «Как вы можете подозревать, что мы сомневаемся в ответе, который вы нам дали?» Вопрос показался им странным, он затрагивал самую суть того, что значили для них школа, преподавание и обучение. Ответа не было. Класс молчал.
Я изменил свой вопрос и дружески спросил: «Может ли кто-нибудь из вас показать, что полученный таким образом ответ действительно верен?»
Маленький М. поднял руку. Он казался весьма сообразительным и ответил: «Я знаю, как это доказать. Это очень просто. Мы установили, что площадь этого параллелограмма равна 36 квадратным дюймам. Я могу вырезать параллелограмм из жести, положить его на одну ча-
шу точных весов, а на другую положить прямоугольник, площадь которого известна и равна 36 квадратным дюймам, — держу пари, они уравновесят друг друга».
«Да, они могут уравновесить друг друга, но можете ли вы показать, что так будет всегда?»
«Отчего же, могу, — ответил он. — Я могу повторить эту процедуру с различными параллелограммами».
То, что сказал этот мальчик, характерно для многих случаев мышления. Теперь у него есть слепая процедура плюс способ проверки с помощью взвешивания. И это все; и он вполне удовлетворен. Эта познавательная операция, так называемая индукция, сама по себе превосходная вещь, она часто необходима и в некоторых отношениях играет важную роль в современных эмпирических науках. Вместе с тем в соединении со слепой и, следовательно, дикой процедурой она не является для настоящего мыслителя ни действительным решением, ни конечным результатом. Хотя современная наука часто и основывается на индукции, она не останавливается на ней. Она продолжает поиски лучшего понимания. (Приведем в качестве примера открытие Менделеева 1.)
1 В начале XIX в. английский химик Уильям Праут заметил, что атомные веса химических элементов приблизительно кратны весу атома водорода, и высказал предположение, что водород является materia prima. На основании этой гипотезы де Шанкуртуа заявил в 1862 г., что свойства химических элементов определяются числами. В 1871 г. Менделеев опубликовал свою знаменитую периодическую таблицу классификации химических элементов, в которой все элементы были расположены в восьми вертикальных и семи горизонтальных рядах. Это позволило ему показать, что свойства химических элементов, в частности их валентность, изменяются в соответствии с изменением их атомного веса. Таким образом, атомный вес Менделеев рассматривал как фундаментальную, важнейшую характеристику элементов. Это подтверждалось тем, что он мог предсказывать открытие неизвестных элементов, которые были необходимы для заполнения пустых мест в его таблице, исходя из соображений, основанных на периодичности и на регулярном возрастании атомного веса химических элементов.
Хотя классификация Менделеева была представлена им как чисто эмпирическое обобщение, она ясно указывала на фундаментальное единство материи.
В 1913 г., основываясь на атомных теориях Резерфорда и Бора, молодой английский ученый Мозли доказал, что именно числом атомов водорода, образующих атом данного элемента, или, точнее, числом протонов и, следовательно, электронов — атомным номером, а не атомным весом объясняются химические свойства элементов.
Так эмпирическое обобщение превратилось в конечном счете в дедуктивную теорию. — Прим. редактора амер. издания.
Будучи важным инструментом на своем месте, индукция сама по себе является скорее началом, а не концом. Но в данном случае она незаконна даже как начало, поскольку не является необходимой и не связана с существом дела.
13. Рассмотрим для пояснения другой пример. Учитель демонстрирует классу, как определять площадь параллелограмма, проводя дополнительные линии, перенося треугольники слева направо и показывая в итоге, что площадь равна произведению основания на высоту. В этом примере я предложил учителю использовать параллелограмм, одна сторона которого, а, равнялась 2,5 дюйма, а другая, b — 5 дюймам. Была измерена высота h, которая оказалась равной 1,5.
Затем я предложил другие задачи, указывая в каждом случае величину сторон а и b; высота измерялась, и следовало определить площадь параллелограмма:
| а | b | Высота (измеренная) | Площадь необходимо вычислить | |
| 2,5 | 1,5 | 7,5 | ||
| 2,0 | 1,2 | 12,0 | ||
| 20,0 | 1⅓ | 16,0 | 21⅓ | |
| 15,0 | 1⅞ | 9,0 | 16⅞ |
Ученики решали эти задачи, испытывая некоторые трудности с умножением.
Вдруг один мальчик поднял руку. Глядя на тех, кто еще не кончил вычисления, с некоторым превосходством, он выпалил: «Глупо заниматься умножением и измерением высоты. Я нашел лучший метод определения площади— он очень прост. Площадь равна а+b».
«Можешь ли ты как-нибудь объяснить, почему площадь равна а+b?» — спросил я.
«Я могу доказать это, — ответил он. — Я вычислил площадь во всех случаях. Зачем ломать голову, умножая b на h? Площадь равна а+b».
Тогда я дал ему пятую задачу: а=2,5; b=5; высота = 2. Мальчик начал считать, пришел в смятение, а затем, довольный, сказал: «В этой задаче сложение не дает
площади. Прошу прощения; а было бы здорово!»
«В самом деле?» — спросил я.
Это может служить примером слепого открытия, слепой индукции. Осмелюсь утверждать, что ни один разумный математик не одобрит столь очевидно бессмысленную индукцию. Он прибегнет к ней только в том случае, если исследуемый вопрос настолько темен, что не приходит в голову никакая идея о возможной разумной внутренней связи.
Могу добавить, что настоящая цель этого «нечестного» эксперимента, который, как вы видели, вполне удался, заключалась не просто в том, чтобы навести на ложный путь. Посетив этот класс раньше, я заметил, что в поверхностном обращении учеников с методом индукции кроется реальная опасность. Я хотел, чтобы эти ученики — и их учитель — ясно почувствовали рискованность такого отношения.
Можно, конечно, сказать, что мальчик ошибся в своей гипотезе просто потому, что она не была универсальной, потому, что она была обобщением, основанным лишь на небольшом числе случаев. Но это значит не понять сути дела. Предложенное равенство — площадь = а+b— бессмысленно, потому что ничего не говорит о внутренней связи между площадью и а+b, о том, почему оно может оказаться разумным хотя бы в одном — единственном случае, поскольку не существует внутренней связи между ними.
14. Приведу еще более простой пример. Вы спрашиваете ученика:
1) 12=3 умноженное на сколько? Ответ: 4.
2) 56 = 7 умноженное на сколько? Ответ: 8.
3) 45 = 6 умноженное на сколько?
Предположим, что ученик ответил на третий вопрос: «Семь». И когда вы спросили его, почему он так думает, он сказал: «Разве это не очевидно? Четвертая цифра на единицу больше третьей:
1) 12 3 4
2) 56 7 8
3) 45 6 7».
Разве здесь существенно, что ученик основывал свою «гипотезу» на очень малом числе случаев? Нет. Сама гипотеза нелепа: увеличение чисел в этом случае не имеет никакого отношения к структуре ситуации, к требованиям ситуации, к соединению знаком равенства, к смыслу чисел, расположенных слева, к смыслу знака умножения
в правой части. Оно не связано с теми структурными свойствами, которые обусловливают требования к разумному решению или осмысленной гипотезе.
15. Теперь мы приведем дополнительные примеры диких процедур, ведущих к правильному ответу. Ошибочным здесь является не отсутствие доказательства, а то, что ни один из шагов этой процедуры не имеет разумной связи с заданием.
Как определить площадь прямоугольника:
I II
| 1) а – b 2) 1/a 3) 1/b 4) вычтите 2) из 3) 5) разделите 1) на результат, полученный в 4) | 1) замените a+b на с 2) а2 3) разделите 2) на 1) 4) вычтите 3) из a 5) умножьте результат на 1) |
16. Я выбрал искусственные примеры для того, чтобы объяснить суть дела, но подобные вещи случаются и без вмешательства психолога.
Ребенок в школе заучивает вместе с сопутствующими упражнениями формулы для периметра, 2(а+b), и для площади, а ּ b, прямоугольника.
Спустя некоторое время ему предлагаются задачи, требующие вычисления площади прямоугольников в контексте решения более широких задач. Ему приходит на ум формула 2(а+b), и он ошибочно использует ее, даже не подозревая об этом.
Либо он старается вспомнить формулу площади. Он может даже пытаться вспомнить страницу учебника, на которой встречается эта формула, и действительно вспоминает эту страницу, но формула все же не приходит в голову. Он теряется, смотрит на результат соседа, замечает, что найденная площадь равна 25 при сторонах а и b, равных соответственно 10 и 2,5. «Понятно! — говорит он себе. — Теперь я вспомнил, как это делается: 10+2,5= 12,5, умножить это на 2, получается 25; 2(а+b)» — успокаивается и энергично решает таким способом следующие задачи, получая неверные результаты, но даже не зная об
этом. (Может случиться, что в следующей задаче а=12, b=2,4; так что, взглянув для проверки на результат соседа, он убедится в своей правоте.) Ему даже не придет в голову проверить, годится ли вообще в данном случае эта формула. Однако, если бы ученик смело приступил к решению задачи, он, может быть, и сумел бы восстановить самостоятельно даже забытую формулу.
Итак, является ли решающим только то обстоятельство, что ученик получил неправильный результат, что его формула не имела общего значения? Для того чтобы заострить вопрос, представим себе следующую фантастическую ситуацию. Задача вполне может быть решена машиной, которая разрезает прямоугольник на мелкие квадраты. Вы опускаете прямоугольник в щель, машина начинает работать, маленькие квадраты выпадают из машины и могут быть сосчитаны либо вами, либо суммирующим механизмом аппарата. Допустим далее, что в ходе работы машина отбрасывает некоторое число маленьких квадратов, их число зависит от размеров прямоугольника. Вместе с тем машина всегда добавляет четыре квадрата 1. Такую машину легко сконструировать, и она по общему правилу будет неизменно выдавать результат 2 (а+b).
Исследователь чувствует большое желание заглянуть в машину и выяснить, каким образом почти закономерно получается такой странный результат. Если бы можно было открыть машину и заглянуть внутрь! Но допустим, что это запрещено или даже что такой машины вообще не существует, что все происходит без машины — чудесным образом — просто в результате разрезаний и вычислений...
Рис. 15
1 Применение формулы 2 (a+b) для вычисления площади означает, что исчезает площадь т и дважды появляются четыре заштрихованных квадрата (см. рис 15).
У вас будет универсальный закон, подтверждающаяся неизменно формула, и тем не менее выраженный в этой формуле закон будет диким, слепым, совершенно непостижимым.
17. Вернемся к нашему вопросу. В наших диких примерах отсутствовало доказательство, и могло возникнуть впечатление, что в этом-то и было все дело. В связи с этим рассмотрим, что является условием разумного, осмысленного процесса мышления. Обычно называют следующие условия:
должно быть получено правильное решение,
такое решение достигается благодаря применению логически правильных операций,
правильность результата должна быть доказана, ондолжен быть правилен во всех случаях.
И это все? Является ли это адекватным отражением того, с чем мы сталкиваемся в реальном, разумном процессе?
Рассмотрим процедуру, которая содержит все эти перечисленные признаки и все же остается уродливой. Допустим, я рассказываю о площади прямоугольника ребенку, который ничего не слышал о геометрии. Сначала я показываю ему, что площадь квадрата есть а2: а, умноженное на а. Он усваивает это и вычисляет площади нескольких квадратов различных размеров. Затем я показываю ему прямоугольник и учу находить площадь прямоугольника следующим образом:
Рис. 16
1. Сначала вычти b из а а—b 7—2=5
2. Возведи остаток в квад- (а—b)2 52=25
рат
3. Возведи b в квадрат и (а—b)2—b2 25—4=21
вычти его из ранее по-
лученного результата
4. Возведи я в квадрат и (а—b)2—b2—а221—49=—28
вычти его из результата 3
5. Умножь результат на a2+b2—(а—b)2 +28
—1 (сделай его положи-
тельным)
6. Раздели результат на 2 аb 14
Это — площадь прямоугольника. Это может быть доказано геометрически, как показано на рисунке:
Рис. 17
Доказательство сводится к демонстрации равенства двух прямоугольников и вычитанию общей площади b2. Хотя такое доказательство и является несколько замысловатым, оно с логической необходимостью приводит к решению. Эта процедура не столь уродлива, как предыдущая, но все же и она уродлива.
Вот некоторые реакции детей: «Что делают взрослые! Почему бы сразу не вычислить площадь? Это похоже на случай с квадратом — число маленьких квадратов в нижнем ряду нужно умножить на число рядов».
18. Теперь вернемся назад. Почему описанные процедуры «уродливы»? В чем здесь дело?
1) Разве операции выполнены неправильно? Нет, в некоторых примерах операции выполнены совершенно правильно.
2) Разве недостает универсальности? Нет, примеры носили самый общий характер и тем не менее оказались уродливыми (см. пункты 11, 15).
3) Разве недостает наглядности в доказательстве? Нет, некоторые примеры содержат доказательство.
Если мы рассмотрим конкретные действия в этих диких примерах, посмотрим, как ученики подходят к задаче, каким образом отдельные этапы мышления связаны с его» общим направлением, то ответ покажется очевидным: я хочу решить задачу, я столкнулся с проблемной ситуацией; я хочу понять, как можно прояснить задачу, чтобы достичь ее решения. Я стараюсь понять, как определяется площадь, как она «встроена» в эту фигуру; я хочу понять это. Вместо этого приходит некто и говорит, что я должен делать то-то и то-то, например вычислить 1/а, или 1/b, или (а— b), или (а—b)2, то есть делать вещи, внутренне совершенно не связанные с задачей, ведущие меня в другом направлении, — в направлении, чуждом задаче. Почему я должен делать именно это? Мне говорят: «И все-таки делай», а затем добавляется новый шаг, опять ведущий в непонятном направлении. Эти шаги совершенно непонятны, их содержание, направление, весь процесс не обусловлены внутренними требованиями ситуации, кажутся произвольными, не связанными с вопросом, каким образом площадь структурно строится из меньших единиц именно в такой форме. В конце концов эти шаги приводят к правильному или даже доказанному результату. Но сам этот результат воспринимается так, что он не приводит к пониманию и ничего не проясняет. И это относится ко всем примерам и с доказательствами, и без доказательств.
Услуги
НАШ СЕРВИС
