Слишком сложно? Тогда запросите консультацию специалиста!
Наша компания занимается тем, что помогает студентам выполнять различные учебные работы на заказ. Вы можете ознакомиться с перечнем выполняемых работ, а так же с их стоимостью на странице с ценами.
n-арной операцией на множестве А называется отображение 
, которое каждому упорядоченному набору длины n из элементов множества А сопоставляет некоторый вполне определённый элемент этого же множества.
Множество А вместе с набором заданных на нём операций 
, где 
называется алгебраической структурой 
или просто алгеброй. При этом множеств А называется носителем структуры, а набор операций 
- сигнатурой. Чаще всего встречаются операции, арность которой равна 2, бинарные. Таковы, в частности, обычные операции сложения и умножения на числовых множествах. Известными алгебраическими структурами являются группы, кольца, поля.
Подмножество 
называется системой образующих, если любой элемент А может быть получен из А с помощью операций сигнатуры. Так, в алгебре 
натуральных чисел с операцией сложения (полугруппе) один элемент 1 – является образующим, а в алгебре 
натуральных чисел с операцией умножения (моноиде) системой образующих является множество простых чисел и единица.
Пусть имеются две алгебры 
и 
, причем арность соответствующих операций одинакова.
Определение. Отображение 
называется гомоморфизм из A в B , если оно сохраняет все операции сигнатуры, то есть 
. Если f - биекция, то гомоморфизм называется изоморфизмом.
С алгебраической точки зрения изоморфные алгебраические структуры неразличимы. Примером изоморфизма алгебраических структур является алгебра 
множества действительных чисел с операцией сложения (группа) и алгебра 
положительных действительных чисел с операцией умножения (группа). Биективным отображением 
устанавливающим изоморфизм является функция 
, так как 
. На данном изоморфизме основано, в частности, выполнение умножения с помощью логарифмической линейки, так как обратное отображение 
задается логарифмической функцией 
и 
.
В качестве примера гомоморфизма алгебраических структур, не являющегося изоморфизмом, можно привести алгебру квадратных матриц заданного порядка n над полем действительных чисел с операцией умножения матриц (моноид) и алгебру действительных чисел с операцией умножения (моноид). Отображением, задающим гомоморфизм из множества матриц в множество чисел, является операция вычисления определителя квадратной матрицы: 
.
Гомоморфизм называется:
- мономорфизмом, если f - инъекция;
- эпиморфизмом, если f - сюръекция;
- эндоморфизмом, если f - отображает носитель
структуры на себя;
- автоморфизмом, если f - биективный эндоморфизм.
Примером автоморфизма группы является операция сопряжения с помощью фиксированного элемента 
, так как 
.
Пусть задана некоторая алгебраическая структура 
Отношение эквивалентности R на множестве A называется отношением конгруэнтности, если оно согласовано со всеми операциями сигнатуры в следующем смысле:
из 
следует 
R 
.
Другими словами, класс эквивалентности, в который попадает результат любой операции сигнатуры, полностью определяется классами, из которых берутся аргументы операции.
